等差数列专项练习题

第1页，共11页等差数列专项练习题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑎1=−11,𝑎3+𝑎7=−6,则当𝑆𝑛取得最小值时，𝑛=(  )A.6B.7C.8D.92.数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛+1，其前n项和是𝑆𝑛，那么数列{𝑆𝑛𝑛}的前10项和是()A.120B.70C.75D.1003.在等差数列{𝑎𝑛}中，已知𝑆9=90，则𝑎3+𝑎5+𝑎7=()A.10B.20C.30D.404.已知正项等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑆9=45，则𝑎5=()A.9B.8C.6D.55.已知{𝑎𝑛}是公差为2的等差数列，𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑆6=3𝑆3，则𝑎9=()A.24B.22C.20D.186.等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎2+𝑎3=−26，𝑎18+𝑎19+𝑎20=80，则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.2207.设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛且满足𝑆170，𝑆180，则𝑆1𝑎1,𝑆2𝑎2,⋯,𝑆15𝑎15中最大的项为()A.𝑆7𝑎7B.𝑆8𝑎8C.𝑆9𝑎9D.𝑆10𝑎108.已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛满足𝑆120,𝑆130,且{𝑆𝑛}的最大项为𝑆𝑚，𝑎𝑚+1=−2，则𝑆13=()A.−20B.−22C.−24D.−269.设𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，且𝑆1,𝑆2,𝑆4成等比数列，则𝑎2𝑎1等于()A.1B.1或2C.1或3D.310.{𝑎𝑛}是公差不为0的等差数列，满足𝑎42+𝑎52=𝑎62+𝑎72，则该数列的前10项和𝑆10=()A.−10B.−5C.0D.5二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，已知𝑆11=132,𝑎6+𝑎9=30，则𝑎12的值为．12.等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛,且𝑎10，又𝑆3=𝑆11，则当𝑆𝑛取最大值时，𝑛=______．13.等差数列{𝑎𝑛}的公差𝑑0，且𝑎12=𝑎112，则数列{𝑎𝑛}前n项和𝑆𝑛取最大值时𝑛=．14.数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=3，则𝑎𝑛=__，𝑎4+𝑎7+𝑎10+⋯+𝑎3𝑛+4=__．第2页，共11页15.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________．16.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎2+𝑎3=2，𝑎2+𝑎3+𝑎4=5，则𝑎1−𝑎2+𝑎3−𝑎4+𝑎5−𝑎6+⋅⋅⋅+𝑎2019−𝑎2020=________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎3+𝑎5=8．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=(13)𝑎𝑛+𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．18.数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=8,𝑎4=5,且满足𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛(𝑛∈𝑁+)(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑠𝑛=|𝑎1|+|𝑎2|+......+|𝑎𝑛|,求𝑠𝑛19.已知{𝑎𝑛}是递增的等差数列，𝑎2，𝑎4是方程𝑥2−5𝑥+6=0的根．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求数列{𝑎𝑛2𝑛}的前n项和．20.已知等差数列{𝑎𝑛}的公差𝑑≠0，其前n项和为𝑆𝑛，若𝑎2+𝑎8=22，且𝑎4，𝑎7，𝑎12成等比数列．第3页，共11页(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑇𝑛=1𝑆1+1𝑆2+1𝑆3+⋯+1𝑆𝑛，证明：𝑇𝑛34．21.在公差d不为零的等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎1，𝑎3，𝑎7依次成等比数列．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛=𝑎𝑛+2𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．第4页，共11页答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用等差数列的通项公式研究前n项和的最小值，属于基础题．依题意，可求得等差数列的通项公式，由即可求得当取得最小值时n的值．【解答】解：等差数列中，，，．要使取得最小值，则n需满足：，解得：，又，．故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．根据题意得出数列{𝑎𝑛}和数列{𝑆𝑛𝑛}都是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可求解．【解答】解：∵数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛+1，则数列{𝑎𝑛}为等差数列，𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛=3+5+7+(2𝑛+1)=𝑛[3+(2𝑛+1)]2=𝑛(𝑛+2)，∴𝑆𝑛𝑛=𝑛+2，则数列{𝑆𝑛𝑛}也是等差数列，∴𝑆11+𝑆22+𝑆33+⋯+𝑆1010=3+5+7+⋯+12=10(3+12)2=75．故选C．第5页，共11页3.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质的运用，是容易题．【解答】解：因为{𝑎𝑛｝是等差数列，所以𝑆9=9(𝑎1+𝑎9)2=9×2𝑎52=9𝑎5=90，即𝑎5=10，所以𝑎3+𝑎5+𝑎7=(𝑎3+𝑎7)+𝑎5=2𝑎5+𝑎5=3𝑎5=3×10=30．故选C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于基础题．由等差数列前n项和公式可求得𝑎1+𝑎9=10，根据𝑎1+𝑎9=2𝑎5，即可得到答案．【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得𝑆9=9(𝑎1+𝑎9)2=45，所以𝑎1+𝑎9=10，又𝑎1+𝑎9=2𝑎5=10，所以𝑎5=5，故选D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题．由𝑆6=3𝑆3，求出𝑎1即可．【解答】解：∵数列{𝑎𝑛}是公差为2的等差数列，𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑆6=3𝑆3，则6𝑎1+6×52𝑑=3(3𝑎1+3×22𝑑)，解得𝑎1=4，∴𝑎9=𝑎1+8𝑑=4+16=20．故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的性质可得𝑎1+𝑎20=18，利用等差数列的求和公式即可解答．【解答】解：(𝑎1+𝑎2+𝑎3)+(𝑎18+𝑎19+𝑎20)=(−26)+80=54，又𝑎1+𝑎20=𝑎2+𝑎19=𝑎3+𝑎18，则3(𝑎1+𝑎20)=54，∴𝑎1+𝑎20=18，则𝑆20=20(𝑎1+𝑎20)2=10×18=180．故选B．第6页，共11页7.【答案】C【解析】【分析】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．【解答】解：∵等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆170，且𝑆180即𝑆17=17𝑎90，𝑆18=9(𝑎10+𝑎9)0∴𝑎10+𝑎90，𝑎90，∴𝑎100，∴等差数列{𝑎𝑛}为递减数列，故可知𝑎1，𝑎2，…，𝑎9为正，𝑎10，𝑎11…为负；∴𝑆1，𝑆2，…，𝑆17为正，𝑆18，𝑆19，…为负，∴𝑆1𝑎10，𝑆2𝑎20，…，𝑆10𝑎100，𝑆11𝑎110，…，𝑆17𝑎170，又∵𝑆1𝑆2⋯𝑆9，𝑎1𝑎2⋯𝑎9，∴𝑆1𝑎1,𝑆2𝑎2,…,𝑆17𝑎17中最大的项为𝑆9𝑎9，故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质和前n项和，本题解题的关键是看出所给的数列的项的正负，本题是一个基础题．根据所给的等差数列的𝑆120，𝑆130，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大，再次根据求和公式求解即可．【解答】解：∵等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆120，且𝑆130，即𝑆12=6(𝑎6+𝑎7)0，𝑆13=13𝑎70，∴𝑎6+𝑎70，𝑎70，∴𝑎60，𝑎70，∴𝑆𝑛达到最大值时对应的项数n的值为6，即𝑚=6．由条件可知𝑎7=−2，𝑆13=132(𝑎1+𝑎13)=13𝑎7=−26．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，属于中档题．由𝑆1，𝑆2，𝑆4成等比数列，根据等比数列的性质得到𝑆22=𝑆1𝑆4，化简得到𝑎1和d的关系式，将关系式代入即可得到答案．【解答】解：由𝑆1，𝑆2，𝑆4成等比数列，∴(2𝑎1+𝑑)2=𝑎1(4𝑎1+6𝑑)．第7页，共11页∵𝑑=0或𝑑=2𝑎1．∴𝑎2𝑎1=𝑎1+𝑑𝑎1=3𝑎1𝑎1=3或𝑎2𝑎1=1．故选C．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．𝑎42+𝑎52=𝑎62+𝑎72，化简可得：(𝑎62−𝑎42)+(𝑎72−𝑎52)=0，可得𝑎5+𝑎6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】解：𝑎42+𝑎52=𝑎62+𝑎72，化简可得：(𝑎62−𝑎42)+(𝑎72−𝑎52)=0，即2𝑑(𝑎6+𝑎4)+2𝑑(𝑎7+𝑎5)=0，𝑑≠0．∴𝑎6+𝑎4+𝑎7+𝑎5=0，∵𝑎5+𝑎6=𝑎4+𝑎7，∴𝑎5+𝑎6=0，∴𝑆10=10(𝑎1+𝑎10)2=5(𝑎5+𝑎6)=0，故选C．11.【答案】24【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{𝑎𝑛}中，设首项为𝑎1，公差为d，由𝑆11=132，𝑎6+𝑎9=30，得{11𝑎1+11×102𝑑=1322𝑎1+13𝑑=30,解得：𝑎1=𝑑=2．∴𝑎12=𝑎1+11𝑑=24．故答案为24．12.【答案】7【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键．由等差数列的性质和求和公式易得𝑎7+𝑎8=0，结合𝑎10可得𝑎70，𝑎80，从而可求．【解答】解：∵𝑆3=𝑆11，∴𝑆11−𝑆3=𝑎4+𝑎5+⋯+𝑎11=0，由等差数列的性质可得，𝑎7+𝑎8=0，∵𝑎10，∴𝑑0，第8页，共11页∴𝑎70，𝑎80，∴等差数列{𝑎𝑛}中前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当𝑆𝑛取最大值时，n的值为7．故答案为7．13.【答案】5或6【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质与求和公式的应用问题，是基础题目．根据题意得出𝑎1+𝑎11=0，由此能求出数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛取得最大值时的项数𝑛.【解答】解：等差数列{𝑎𝑛}中，公差𝑑0，且𝑎12=𝑎112，∴𝑎1=−𝑎11，即𝑎1+𝑎11=0，∴𝑎6=0，因为𝑑0，故𝑎50,𝑎70，所以满足条件的𝑛=5或6．故答案为5或6．14.【答案】3𝑛−2，(𝑛+1)(9𝑛+20)2【解析】【分析】本题考查的是等差数列的定义，通项公式，求和公式，属于基础题．由题意可得数列{𝑎𝑛}是等差数列，从而即可得出答案．【解答】解：∵𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=3，𝑎1=1，∴数列{𝑎𝑛}是以首项为1，公差为3的等差数列，∴𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=3𝑛−2，∴𝑎4+𝑎7+𝑎10+⋯+𝑎