初中数学一次函数与全等三角形综合培优精讲及答案

13、一次函数与全等三角形综合题型切片题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．题型一：一次函数与全等三角形综合思路导航几种全等模型的回顾：ABCEFABCDEFABCEABCDEFEDCBA图1图2图3图4图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC△绕点C逆时针旋转90°得到DEC△，此时可得结论：ACDBCE△△，均为等腰直角三角形；DEAB.图2中ABCDBE△≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC△为等腰直角三角形，AEECBFCF，，ECF，，三点共线，则有ACECBF△≌△，图3中EFAEBF，图4中EFAEBF图5中，ABAC，延长AB到F使得BFEC，则有结论EDDF，若EDDF，则有BFEC例题精讲【引例】平面直角坐标系内有两点40A，和04B，，点P在直线AB上运动．⑴若P点横坐标为2Px，求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵若点P在第四象限，作BM直线OP于M，AN直线OP于N，求证：MNBMAN；⑶若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）【解析】⑴设直线AB函数解析式为ykxb204144kbkbb4yx当x为2时，6y，∴P的坐标为26，∵直线OP过原点，∴解析式为3yx⑵如图1，由题意可证RtRtBMOONA△≌△∴BMON，ANMO，∴MNBMAN⑶如图2，证明RtRtBMOONA△≌△可得结论MNBMANMNPyxOBA图2xyOABPMNNMPBAOyx图1图2典题精练【例1】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点04A，，点BC，在x轴上，作BEAC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BDAC．⑴求点B的坐标；⑵设OC长为m，BOD△的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．【解析】⑴如图，由BODAOC△≌△可知4BOAO∴B点坐标为40，⑵由⑴可知DOOCm，∴142Sm，2Sm，m的取值范围是04m【例2】已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为40A，，04B，，P为y轴上B点下方一点，0PBmm，以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PMPA，点M落在第四象限．⑴求直线AB的解析式；⑵用m的代数式表示点M的坐标；⑶若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．（西城期末）MQPOBAxy(0,4)OyxEDCBA3【解析】⑴4yx⑵作MCy轴，交y轴于C，9090APPMMPCAPOOAPAPOPMCPMCMPCAPO△≌△由此可知48Mmm，⑶由⑵中的全等可知4MCm，4BCm，∴MCBC45CBM，可得QOOB4,0Q∴Q点坐标不随m的变化而变化.【点评】此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】如图1，直线1:33lyx与x轴交于B点，与直线2l交于y轴上一点A，且2l与x轴的交点为10C，．⑴求证：ABCACB⑵如图2，过x轴上一点30D，，作DEAC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标；⑶如图3，将ABC△沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不同于A和C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且CP=BQ.在ABC△平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．图3图2图1MQPDGFEl2l1ABCOxyABCOxyyxOCBA【解析】⑴由题意得10B，，BOOC，又∵AOBC∴ABACABCACB，⑵由题意得ABODFO△≌△，∴1OFBO,∴01F，∴DE解析式为113yx由11333yxyx解得3434xy∴3344G，⑶不变，1OM如图过P作PNAB∥交BC于N，可知PNPCBQ，NAxyBCOMPQ4从而PNMQBM△≌△，∴BMNM，又NOCO∴112OMBC【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足2240ab．⑴求直线AB的解析式；⑵若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；⑶过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为1，过N点的直线22kkyx交AP于点M，试证明PMPNAM的值为定值．【解析】⑴y=24x⑵易证阴影部分三角形全等，得到M（3，3）故而m=1⑶过N点做直线垂直于y轴，交PM于G点，另直线NM与坐标轴交点分别为O、I（如图所示），连接IG并做MF⊥x轴于F，易知N、G两点横坐标分别为1和1，将其分别代入MN、MP的解析式中，求得两点坐标为N（1，k）G（1，k），易证△NHP≌△GHP，∴NP=GP易求I（1，0），∴IG⊥x轴易证△IGA≌△FMA，∴MA=AG∴2PMPNMGAMAM题型二：一次函数与面积综合思路导航解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有：1.公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2.割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；h2h1PCBAOxyyxMOBAIHGAMNPyxOABOMxyAPMNyxO53.容斥法；4.等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=abch；5.铅垂线法：如右图所示1212ABCSAPhh△，AP称为铅垂高，12hh称为水平宽．必要时需分类讨论．典题精练【例5】已知：平面直角坐标系xOy中，直线0ykxbk与直线0ymxm交于点24A，．⑴求直线0ymxm的解析式；⑵若直线0ykxbk与另一条直线2yx交于点B，且点B的横坐标为4，求ABO△的面积．（西城期末试题）【解析】⑴∵点(24)A，在直线(0)ymxm上，∴42m，2m∴2yx⑵解法一：作AMy轴于M，BNy轴于N（如上图）∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为4．∴点B的坐标为B（4，8）∵1()2ABNMSAMBNMN梯形1(24)(48)3621124422AOMSAMMO△11481622BONSBNNO△∴ABOAOMBONABNMSSSS△△△梯形3641616解法二：设直线(0)ykxbk与x轴交于点C（如下图）．∵点B在直线y=2x上，且点B的横坐标为4．∴点B的坐标为（4，8）∵直线0ykxbk经过点A（2，4）和点B（4，8），∴4284kbkb，616kb∴616yx令y=0．可得83x∴点C的坐标为803C，∴181848162323ABOAOCBOCSSS△△△．【教师备选】如图所示，直线OP经过点P（4，43），过x轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x轴的垂线，与直线OP相交得1191357Pxyy=kx+by=2xy=mxyOxABMNCABOxyy=mxy=2xy=kx+b6到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S、2S、3S······nS，则nS关于n的函数关系式是________．【解析】843nSn．真题赏析【例6】已知：一次函数132yx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1）．⑴求a的值及正比例函数y=kx的解析式；⑵点P在坐标轴上（不与点O重合），若PA=OA，直接写出P点的坐标；⑶直线x=m与一次函数的图象交于点B，与正比例函数图象交于点C，若△ABC的面积记为S，求S关于m的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】⑴∵一次函数132yx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（a，1），∴1312a∴a=﹣4，即A（﹣4，1）．∴﹣4k=1解得14k．∴正比例函数的解析式为14yx；⑵如图1，P1（﹣8，0）或P2（0，2）；⑶依题意，得点B的坐标为（m，132m），点C的坐标为（m，14m）．作AH⊥BC于点H，H的坐标为（m，1）．以下分两种情况：①当m＜﹣4时，11342BCmm=334m．AH=4m．则S△ABC=12BC∙AH133424mm∴S=23368mm；②当m＞4时，11333244BCmmm．AH=m+4．7则S△ABC=12BC∙AH=12（334m）（4+m）∴S=23368mm；综上所述，23S3648mmm．【教师备选】已知四条直线3ymx，1y，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．【解析】∵3ymx，1y，x=1交于ABCDEF∴A（6m，3），B（2m,-1），C（1，-1），D（1，3），E（6m，3），F（2m，-1）①2ABCDCDBCADS2621112mm∴m=－2②2CFEDCDEDCFS6221112mm∴m=1综上说述，2m或m=1．y=mx-3y=mx-3x=1y=-1y=3xyOABCDEF8思维拓展训练(选讲）训练1.如图，AOB△为正三角形，点B的坐标为20，，过点20C，作直线l交AO于D，交AB于E，且ADE△与DCO△的面积相等，求直线l的解析式.【解析】由ADE△与DCO△的面积相等可知，AOBBCESS△△.∵(20)C，,设直线l的解析式为ykxb，∴20kb，∴2bk∴直线l的解析式为：2ykxk又AB的解析式为：323yx，故点E的坐标满足下式：2433(2)3ykxkkyyxk，故143134232273BCEAOBkSSkk△△故直线l的解析式为：3(2)7yx.训练2.在平面直角坐标系xOy中，直线yxm经过点2,0A，交y轴于点B.点D为x轴上一点，且1ADBS△.⑴求m的值；⑵求线段OD的长；⑶当点E在直线AB上（点E与点B不重合），且BDOEDA，求点E的坐标.（备用图）(海淀期末试题)【解析】⑴∵直线yxm经过点2,0A，∴02m.∴2m.⑵∵直线2yx交y轴于点B，∴点B的坐标为0,2.∴2OB.yxlEDCOBA9∵112ADBSADOB△，∴1AD.∵点A的坐标为2,0，∴点D的坐标为1,0或3,0.∴1OD或3OD.⑶①当点D的坐标为1,0时，如图所示.取点'0,2B，连接'BD并延长，交直线BA于点E.∵'OBOB，'AOBB于O，∴OD为'BB的垂直平分线.∴'DBDB.∴12.又∵23，∴13.设直线'BD的解析式为20ykxk.∵直线'BD经过点1,0D，∴02k.∴2k.∴直线'BD的解析式为22yx.解方程组2,22,yxyx得4,32.3xy∴点E的坐标为42,33.②当点D的坐标为3,0时，如图所示.取点'0,2B，连接'BD，交直线BA