2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳第5章平面向量

第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作AB―→，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB―→的大小即向量AB―→的长度(模)，记为|AB―→|.2．几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量单位向量记作a0，a0＝a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则❷(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb❷向量加法的多边形法则多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP―→＝12(OA―→＋OB―→)．(2)OA―→＝λOB―→＋μOC―→(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.考点一平面向量的有关概念[典例]给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．[解析]①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵AB―→＝DC―→，∴|AB―→|＝|DC―→|且AB―→∥DC―→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB―→∥DC―→且|AB―→|＝|DC―→|，因此，AB―→＝DC―→.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.[答案]①②[解题技法]向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．[题组训练]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算[典例](1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB―→＝()A.34AB―→－14AC―→B.14AB―→－34AC―→C.34AB―→＋14AC―→D.14AB―→＋34AC―→(2)如图，在直角梯形ABCD中，DC―→＝14AB―→，BE―→＝2EC―→，且AE―→＝rAB―→＋sAD―→，则2r＋3s＝()A．1B．2C．3D．4[解析](1)作出示意图如图所示．EB―→＝ED―→＋DB―→＝12AD―→＋12CB―→＝12×12(AB―→＋AC―→)＋12(AB―→－AC―→)＝34AB―→－14AC―→.故选A.(2)根据图形，由题意可得AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→＋23BC―→＝AB―→＋23(BA―→＋AD―→＋DC―→)＝13AB―→＋23(AD―→＋DC―→)＝13AB―→＋23AD―→＋14AB―→＝12AB―→＋23AD―→.因为AE―→＝rAB―→＋sAD―→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.[答案](1)A(2)C[解题技法]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D为△ABC所在平面内一点，BC―→＝3CD―→，则()A．AD―→＝－13AB―→＋43AC―→B．AD―→＝13AB―→－43AC―→C．AD―→＝43AB―→＋13AC―→D．AD―→＝43AB―→－13AC―→解析：选A由题意得AD―→＝AC―→＋CD―→＝AC―→＋13BC―→＝AC―→＋13AC―→－13AB―→＝－13AB―→＋43AC―→.2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC―→＝λAM―→＋μAN―→，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵AM―→＝AB―→＋BM―→＝AB―→＋12BC―→＝DC―→＋12BC―→，①AN―→＝AD―→＋DN―→＝BC―→＋12DC―→，②由①②得BC―→＝43AN―→－23AM―→，DC―→＝43AM―→－23AN―→，∴AC―→＝AB―→＋BC―→＝DC―→＋BC―→＝43AM―→－23AN―→＋43AN―→－23AM―→＝23AM―→＋23AN―→，∵AC―→＝λAM―→＋μAN―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.答案：43考点三共线向量定理的应用[典例]设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3a－3b，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．[解](1)证明：∵AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3a－3b，∴BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB―→，∴AB―→，BD―→共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的非零向量，∴k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝1，λ＝1或k＝－1，λ＝－1，又∵λ0，∴k＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD中，AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析：选C由已知，得AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC―→，故AD―→∥BC―→.又因为AB―→与CD―→不平行，所以四边形ABCD是梯形．2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解析：选D因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.3．已知O为△ABC内一点，且AO―→＝12(OB―→＋OC―→)，AD―→＝tAC―→，若B，O，D三点共线，则t＝()A.14B.13C.12D.23解析：选B设E是BC边的中点，则12(OB―→＋OC―→)＝OE―→，由题意得AO―→＝OE―→，所以AO―→＝12AE―→＝14(AB―→＋AC―→)＝14AB―→＋14tAD―→，又因为B，O，D三点共线，所以14＋14t＝1，解得t＝13，故选B.4．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且OP―→＝OA―→＋AB―→|AB―→|，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段AB的反向延长线上D．点P在射线AB上解析：选D由OP―→＝OA―→＋AB―→|AB―→|，得OP―→－OA―→＝AB―→|AB―→|，∴AP―→＝1|AB―→|·AB―→，∴点P在射线AB上，故选D.[课时跟踪检测]1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB―→＋FC―→＝()A．AD―→B.12AD―→C.12BC―→D．BC―→解析：选A由题意得EB―→＋FC―→＝12(AB―→＋CB―→)＋12(AC―→＋BC―→)＝12(AB―→＋AC―→)＝AD―→.2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[]a＋2λ－1b.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a，b不共线，AB―→＝2a＋pb，BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B因为BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，所以BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB―→，BD―→共线．设AB―→＝λBD―→，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，BC―→＝－4CD―→，则AD―→＝()A.14AB―→－34AC―→B.14AB―→＋34AC―→C.34AB―→－14AC―→D.34AB―→＋14AC―→解析：选B法一：设AD―→＝xAB―→＋yAC―→，由BC―→＝－4C