2020届高考数学文一轮复习讲义第1章11集合的概念及运算

§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AAB(或BA)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤2020}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉A答案D3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为______．答案2解析集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素．题组三易错自纠4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3或0答案B解析A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.5．已知集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x4}，则(∁RA)∪B＝______________.答案{x|x≤1或x2}解析由已知可得集合A＝{x|1x3}，又因为B＝{x|2x4}，∁RA＝{x|x≤1或x≥3}，所以(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x2}．6．若集合A＝{x∈R|ax2－4x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.答案0或2解析若a＝0，则A＝12，符合题意；若a≠0，则由题意得Δ＝16－8a＝0，解得a＝2.综上，a的值为0或2.题型一集合的含义1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有()A．5个B．4个C．3个D．无数个答案C解析依题意有A＝{－2，－1,0,1,2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1,2,5}，故B中有3个元素．2．已知集合A＝xx∈Z，且32－x∈Z，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．答案－32解析由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二集合间的基本关系例1(1)集合M＝xx＝n2＋1，n∈Z，N＝yy＝m＋12，m∈Z，则两集合M，N的关系为()A．M∩N＝∅B．M＝NC．M⊆ND．N⊆M答案D解析由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋12(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋20180}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则实数a的取值范围是____________．答案[2018，＋∞)解析由x2－2019x＋20180，解得1x2018，故A＝{x|1x2018}．又B＝{x|xa}，A⊆B，如图所示，可得a≥2018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1x2018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练1(1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A＝x∈Zx＋1x－2≤0，则集合A的子集的个数为()A．7B．8C．15D．16答案B解析由x＋1x－2≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且x≠2，解得－1≤x2.又x∈Z，可得x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}．∴集合A的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A＝{x|－1x3}，B＝{x|－mxm}．若B⊆A，则m的取值范围为__________．答案(－∞，1]解析当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m0时，因为A＝{x|－1x3}，B⊆A，所以在数轴上标出两集合，如图，所以m0，－m≥－1，所以0m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例2(1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{}x|x2－x－20，则∁RA等于()A．{x|－1x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1}∪{x|x2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案B解析∵x2－x－20，∴(x－2)(x＋1)0，∴x2或x－1，即A＝{x|x2或x－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2)已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆AD．A∪B＝R答案D解析∵A＝{x|x2或x0}，∴A∪B＝R.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)(2018·锦州模拟)已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|x2－3x＋20}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a1B．a≤1C．a2D．a≥2答案D解析集合B＝{x|x2－3x＋20}＝{x|1x2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝a－1，a＋1a，A∩B＝{0}，则实数a的值为________．答案1解析0∈a－1，a＋1a，由a＋1a≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.经检验，当a＝1时满足题意．(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．答案(－∞，－1]∪{1}解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得Δ＝4a＋12－4a2－10，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2(1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A＝{x|－2x4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁RB)等于()A．(2,4)B．(－2,4)C．(－2,2)D．(－2,2]答案D解析由题意得B＝{x|y＝lg(x－2)}＝(2，＋∞)，∴∁RB＝(－∞，2]，∴A∩(∁RB)＝(－2,2]．(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)答案D解析由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1m＋1，解得－1≤m2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题例4(1)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝______________.答案[－3,0)∪(3，＋∞)解析由题意知，A－B＝{x|x3}，B－A＝{x|－3≤x0}，A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M＝xm≤x≤m＋34，N＝xn－13≤x≤n，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．答案112解析在数轴上表示出集合M与N(图略)，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝x23≤x≤34，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝x14≤x≤13，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(