2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性教学案含解析理11

第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)0，得0x4，∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(教材改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D[f′(x)＝－sinx－1，又x∈(0，π)，所以f′(x)＜0，因此f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．(－∞，3][f′(x)＝3x2－a，由题意知f′(x)≥0，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立．又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，所以a≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)B[函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x2－1x＝x－x＋x，令y′＜0，得0＜x＜1，所以单调递减区间为(0,1)，故选B.]2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上递增B．在(0，＋∞)上递减C．在0，1e上递增D．在0，1e上递减D[因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x＞0)，当f′(x)＞0时，解得x＞1e，即函数的单调递增区间为1e，＋∞；当f′(x)＜0时，解得0＜x＜1e，即函数的单调递减区间为0，1e，故选D.]3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．－π，－π2和0，π2[f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2和0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.][规律方法]求函数单调区间的步骤确定函数fx的定义域；求fx,在定义域内解不等式fx＞0，得单调递增区间；在定义域内解不等式fx＜0，得单调递减区间.易错警示：求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数fx＝x3，fx＝3x2x＝0时，fx＝，但fx＝x3在R上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.①当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈0，1－a2a时，f′(x)＜0；当x∈1－a2a，＋∞时，f′(x)＞0，故f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．[规律方法]解决含参数的函数单调性问题应注意两点研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．[解]f′(x)＝x2＋2x＋a开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增．②当1－a＞0，即a＜1时，令f′(x)＝0，解得x1＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a，令f′(x)＞0，解得x＜－1－1－a或x＞－1＋1－a；令f′(x)＜0，解得－1－1－a＜x＜－1＋1－a，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．综上所述：当a≥1时，f(x)在R上单调递增；当a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．(2)已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a＞0)．求f(x)的单调区间．[解]由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a＞0)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2－2aa.①当0＜a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和2－2aa，＋∞，单调递减区间为0，2－2aa；②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a＞1时，f(x)的单调递增区间为－∞，2－2aa和(0，＋∞)，单调递减区间为2－2aa，0.函数单调性的应用►考法1比较大小【例2】(2019·莆田模拟)设函数f′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数，f(x)＝f(2π－x)，当0＜x＜π时，若f(x)sinx－f′(x)cosx＜0，a＝12fπ3，b＝0，c＝－32f7π6，则()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜bA[由f(x)＝f(2π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝π对称，令g(x)＝f(x)cosx，则g′(x)＝f′(x)cosx－f(x)·sinx＞0，所以当0＜x＜π时，g(x)在(0，π)内递增，所以gπ3＜gπ2＜g7π6＝g5π6，即a＜b＜c，故选A.]►考法2根据函数的单调性求参数【例3】(1)(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．－1，12[因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－1e－x＝－x3＋2x－ex＋1ex＝－f(x)，所以f(x)＝x3－2x＋ex－1ex是奇函数．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤12.](2)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．①若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；②若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[解](1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，即a＞1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1，所以a＞－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)．(2)由h(x)在[1,4]上单调递减得，当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，即a的取值范围是－716，＋∞.[规律方法]根据函数单调性求参数的一般思路利用集合间的包含关系处理：y＝fx在a，b上单调，则区间a，b是相应单调区间的子集.fx为增函数的充要条件是对任意的xa，b都有fx且在a，b内的任一非空子区间上，fx不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y＝f(x)对任意的x∈－π2，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f－π3＜f－π4B.2fπ3＜fπ4C．f(0)＞2fπ3D．f(0)＞2fπ4(2)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是减函数，则a的取值范围是()A.0，34B.12，34C.34，＋∞D.0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝fxcosx，则g′(x)＝fxx＋fxxcos2x＞0，即g(x)在区间－π2，π2上是增函数，则有g－π3＜g－π4，即f－π3cos－π3＜f－π4cos－π4，即2f－π3＜2f－π4.即2f－π3＜f－π4，故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意知当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有g－，g，即－2＋－2a－－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34，故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13C[取a＝－1，则f(x)＝x－13sin2x－sinx，f′(x)＝1－23cos2x－cosx，但f′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(