2020版高考数学一轮复习第6章不等式第2节基本不等式教学案含解析理39

第二节基本不等式[考纲传真]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号且不为零)；(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)．[常用结论]重要不等式链若a≥b＞0，则a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b≥b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(3)x0，y0是xy＋yx≥2的充要条件．()(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82C[xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]3．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2D[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.]4．若x＞1，则x＋4x－1的最小值为________．5[x＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋1≥2x－4x－1＋1＝5，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．]5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．22[由xy＝1得x2＋2y2≥22x2y2＝22.当且仅当x2＝2y2时等号成立．]利用基本不等式求最值►考法1直接法或配凑法求最值【例1】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．(2)已知x＜54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．(1)14(2)1[(1)由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋18b≥2×2a×18b＝2×2a－3b＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．(2)因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.]►考法2常数代换法求最值【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．4[因为a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．][拓展探究](1)若本例条件不变，求1＋1a1＋1b的最小值；(2)若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解1a＋1b的最小值．[解](1)1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，等号成立．(2)因为a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1.所以1a＋1b＝1a＋1b13a＋23b＝13＋23＋a3b＋2b3a≥1＋2a3b·2b3a＝1＋223.当且仅当a＝2b时，等号成立．[规律方法]利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：利用基本不等式直接求解.对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.(1)若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥15B．a＞15C．a＜15D．a≤15(3)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则2x＋1y的最小值为________．(1)C(2)A(3)92[(1)当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.(2)由x＞0，得xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥15，故选A.(3)∵正实数x，y满足2x＋y＝2，则2x＋1y＝12(2x＋y)2x＋1y＝125＋2yx＋2xy≥125＋2×2yx·2xy＝92，当且仅当x＝y＝23时取等号．∴2x＋1y的最小值为92.]基本不等式的实际应用【例3】某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[解](1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2018年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－16m＋1＋m＋＋29(m≥0)．(2)因为m≥0，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[规律方法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋1t，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝4＋1t(120－|t－20|)＝401＋4t＋100t，1≤t≤20，559＋140t－4t，20t≤30.(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋100t≥401＋24t·100t＝441(t＝5时取最小值)．当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋140t－4t递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________