等差数列及其前n项和教学设计

课题等差数列及其前n项和科目数学教学对象高三学生提供者课时1课时一、教学内容分析等差数列是高考考察的重点内容，主要考察等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容。对等差数列的定义、性质及等差中项的考察以填空题为主，难度较小。通项公式与前n项和公式相结合的题目多出现在解答题中，难度中等。二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度、价值观）1.知识与技能目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。3.了解等差数列与一次函数的关系。2.过程与方法目标：经历等差数列的概念的归纳过程，会应用等差数列的基本知识解决问题。通过等差数列通项公式、前n项和公式的运用，渗透方程思想。引导学生通过观察、类比等方法，理解等差数列的性质。3.情感态度、价值观目标：在等差数列的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。三、学习者特征分析1、学生已学习过等差数列及其前n项和。2、学生的知识经验较为丰富，具备了抽象思维能力和演绎推理能力。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。4、学生层次参次不齐，个体差异比较明显。四、教学策略选择与设计1、启发引导策略：提出有启发性的问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中；2、探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导。五、教学环境及资源准备专门为本课设计的多媒体课件六、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备导课前面学习了数列的基本概念，本节课复习等差数列及其前n项和。等差数列是一种特殊的数列，是本章的重点内容，复习时要重点把握等差数列的定义、通项公式、前n项和、性质、最值等方面的问题，在高考中本节内容可能出现在选择题、填空题、综合题中，以考察等差数列的性质为主，在与函数、不等式等知识综合考察多为中档题，复习中一定要注重基础，认真备考。回忆等差数列及其前n项和的相关知识从已有的知识出发，激发学生的探究热情和学习兴趣。知识梳理一、等差数列的有关概念1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，其符号语言为：(n≥2，d为常数).2.等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成，那么A叫做a与b的等差中项，则A＝.二、等差数列的有关公式1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2.前n项和公式：Sn＝＝.三、等差数列的性质1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*).2.若{an}为等差数列，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则；若m＋n＝2p，则.3.在等差数列{an}中，an，an+m，an+2m，…仍成等差数列，公差为.由学生回忆已学知识师生共同总结通过学生探索交流、总结已学知识，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。知识梳理4.若{an}是等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍是等差数列，公差为.5.等差数列的增减性：d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最____值；d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最____值；d=0时为数列。由学生回忆已学知识师生共同总结通过学生探索交流、总结已学知识，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.()(5)在等差数列的前n项和公式dnnnaSn211中，Sn一定是关于n的二次函数.()(6)若数列{an}和{bn}都是等差数列，则数列{pan-qbn}（p，q为常数），也是等差数列.()由问题启发学生进行思考讨论，学生完成并回答。通过师生探索交流、讨论解决问题方法，揭示知识间的内在联系，对学生的思维进行启迪，方法及时的点拨，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。例题讲解教师点拨、讲解例题考点一、等差数列的基本运算例1：在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.分析：(1)设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于-3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；(2)根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于-35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．学生思考通过例题讲解，使学生加深对等差数列概念、通项、前n项的理解，完善知识结构，提高学生分析、解决问题的能力。考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和。此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题。练习1观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1){an}为等差数列，且a7-2a4=-1，则a3＝0，则公差d等于（）12C.12(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()学生思考、完成并回答使学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。例题讲解教师点拨、讲解例题考点二、等差数列的性质及应用例2：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()分析：根据等差数列的性质可知Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是等差数列，由2（S2m-Sm）=S3m-S2m+（S3m-S2m）可解得S3m的值.学生思考考点：等差数列性质及应用。此题考查学生灵活运用等差数列的性质求值。通过例题讲解，使学生加深对等差数列性质的理解，完善知识结构，提高学生分析、解决问题的能力。为今后的学习打好基础。练习2观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.(2)已知正项等差数列{an}的前20项和为100，那么a6·a15的最大值为（）D.不存在学生思考、完成并回答使学生巩固等的性质。例题讲解教师点拨、讲解例题考点三、等差数列的前n项和及其最值例3：在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析：设等差数列的公差为d，由首项a1的值和S10=S15即可求出公差d的值即可写出等差数列{an}的通项公式；可知a13=0，然后由等差数列的特点可知当n≤12时，an＞0，n≥14，an＜0即可得结论．学生思考考点：等差数列的前n项和及其最值。此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和及性质化简求值，是一道中档题。引导利用所学性质求解，这样有助于简化运算。是学生灵活运用了所学知识，培养了学生思维的灵活性和深刻性。练习3观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()(2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若ak＋a4＝0，则k＝________.学生思考、完成并回答使学生巩固等差数列相关知识。小结通过本节课的学习，你最大的体验是什么回顾本节课内容通过小结，有利于学生构建完整的知识体系，养成良好学习的习惯。课后思考(1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=12，S2=a3，则a2=；Sn=.(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.(3)设数列{an}是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为()或6使学生巩固当天所学知识。