2014年上海市数学高考真题理

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数212cos(2)yx的最小正周期是____________.2．若复数12zi，其中i是虚数单位，则1·zzz____________.3．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________.4．设2,(,)(),[,)xxafxxxa若(2)4f，则a的取值范围为____________.5．若实数,xy满足1xy，则222xy的最小值为____________.6．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结果用反三角函数值表示）7．已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)1，则C与极轴的交点到极点的距离是____________.8．设无穷等比数列na的公比为q，若1a34lim()nnaaa，则q=____________.9．若2132()fxxx，则满足()0fx的x的取值范围是____________.10．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是____________（结果用最简分数表示）.11．已知互异的复数,ab满足0ab，集合22{,}{,}abab，则ab____________.12．设常数a使方程sin3cosxxa在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,xxx，则123xxx____________.13．某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分.若()4.2E，则小白得5分的概率至少为____________.14．已知曲线2:4Cxy，直线:6lx.若对于点(,0)Am，存在C上的点P和l上的Q使得0APAQ，则m的取值范围为____________.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）2014年上海市数学高考真题（理）第6题图15．设,abR，则“4ab”是“2a且2b”的（）A．充分条件.B．必要条件.C．充分必要条件.D．既非充分又非必要条件.16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)iPi是上底面上其余的八个点，则·(1,2,,8)iABAPi的不同值的个数为（）A．1.B．2.C．4.D．8.17．已知111(,)Pab与222(,)Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组112211axbyaxby的解的情况是（）A．无论12,,kPP如何，总是无解.B．无论12,,kPP如何，总有唯一解.C．存在12,,kPP，使之恰有两解.D．存在12,,kPP，使之有无穷多解.18．设2(),0()1,0xaxfxxaxx若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围为（）A．[1,2].B．[1,0].C．[1,2].D．[0,2].三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形123PPP，如图.求123PPP的各边长及此三棱锥的体积V.20．设常数0a，函数2()2xxafxa.(1)若4a，求函数()yfx的反函数1()yfx；(2)根据a的不同取值，讨论函数()yfx的奇偶性，并说明理由.21．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米.设点,AB在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.(1)设计中CD是铅垂方向.若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）.22．在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0laxbyc和点111222(,),(,)PxyPxy，记1122()()axbycaxbyc.若0，则称点12,PP被直线l分割.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点12,PP被直线l分割，则称直线l为曲线C的一条分割线.(1)求证：点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分割；(2)若直线ykx是曲线2241xy的分割线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点(0,2)Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E.求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.23．已知数列na满足*1113,,13nnnaaanaN.(1)若2342,,9aaxa，求x的取值范围；(2)设na是公比为q的等比数列，12nnSaaa.若1133nnnSSS，*nN，求q的取值范围；(3)若12,,,kaaa成等差数列，且121000kaaa，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,,,kaaa的公差.参考答案1、2142T2、63、2x4、(,2]5、226、1arccos37、138、512q9、(0,1)10、11511、-112、7313、0.214、[2,3]15、B16、A17、B18、D19、在123PPP中，1323,PAPAPCPC，所以AC是中位线，故1224.PPAC同理，23314,4.PPPP所以123PPP是等边三角形，各边长均为4.设Q是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以22223,6.33AQPQAPAQ从而，122.33ABCVSPQ20、（1）因为2424xxy，所以4(1)2,1xyy得1y1,y且24(1)log1yxy.因此，所求反函数为124(1)()log,11xfxxx1x（2）当0a时，()1fx，定义域为R，故函数()yfx是偶函数；当1a时，21(),21xxfx定义域为(,0)(0,),2121()()2121xxxxfxfx，故函数()yfx是奇函数；当0a且1a时，定义域22(,log)(log,)aa关于原点不对称，故函数()yfx既不是奇函数，也不是偶函数.21、（1）记CDh.根据已知得tantan20，tan,tan3580hh，所以22800,351()80hhh解得20228.28h.因此，CD的长至多约为28.28米.（2）在ABD中，由已知，56.57,115AB，由正弦定理得sinsin()BDAB，解得85.064.BD在BCD中，由余弦定理得2222cos,CDBCBDBCBD解得26.93.CD所以，CD的长约为26.93米.22、（1）因为40,所以点,AB被直线10xy分隔.（2）直线ykx与曲线2241xy有公共点的充要条件是方程组2241ykxxy有解，即1||.2k因为直线ykx是曲线2241xy的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k.当1||2k时，对于直线ykx，曲线2241xy上的点(1,0)和(1,0)满足20,k即点(1,0)和(1,0)被ykx分隔.故实数k的取值范围是11(,][,).22（3）设M的坐标为(,)xy，则曲线E的方程为22(2)||1,xyx即222[(2)]1.xyx对任意的00,(0,)yy不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.又曲线E上的点(1,2)和(1,2)对于y轴满足0,即点(1,2)和(1,2)被y轴分隔.所以y轴为曲线E的分割线.若过原点的直线不是y轴，设其为ykx.由222[(2)]10ykxxyx得222[(2)]10xkxx，令222()[(2)]1fxxkxx，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0ffk，所以方程()0fx有实数解，即直线ykx与曲线E有公共点，故直线ykx不是曲线E的分隔线.综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23、（1）由条件得263x且933xx，解得36.x所以x的取值范围是[3,6].（2）由133nnaa，且110nnaaq，得0.na所以113nnSS，又113,3nnnaaa所以133q当1q时，1,1nnSnSn，由13nn得13nnSS成立.当1q时，1nnSS即111311nnqqqq①若13q，则(3)2.nqq由*,nqqnN，得(3)2qq，所以12q.②若113q，则(3)2.nqq由*,nqqnN，得(3)2qq，所以11.3q综上，q的取值范围为1[,2].3（3）设数列12,,,kaaa的公差为.d由1133nnnaaa，且11,a得1[1(1)]13[1(1)],1,2,,1.3ndndndnk即(2+1)2,1,2,,1.(23)2ndnknd当1n时，223d；当2,3,,1nk时，由222123nn得22+1dn，所以22213dk.所以1(1)(1)210002221kkkkkadkk，即2200010000kk，得1999.k所以k的最大值为1999，1999k时，12,,,kaaa的公差为1.1999