6-齐次线性方程组的解法

第三节齐次线性方程组设线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若记,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxx则上述方程组可写成向量方程Ax=b.,21mbbbb当b=0时,称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.定义：线性方程组的同解变换（1）交换线性方程组的任意两个线性方程式（2）线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k（3）线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去初等行变换线性方程组解的判别个自由未知量且有多解则此线性方程组有无穷若秩)A(rnn,r(A))Ar()2(，那么增广矩阵为元线性方程组已知定理，AB，AXn：；解则此线性方程组有唯一若秩n,r(A))Ar()1(.则此线性方程组无解若秩r(A),)Ar()3(一、齐次线性方程组解的判别；非零解则此齐次线性方程组有若秩n,r(A))1(.n)A(r，)2(则秩非零解若此齐次线性方程组有推论当齐次线性方程式的个数少于未知量的个数即mn时，齐次线性方程有非零解。定理已知由m个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组AX＝0，那么例1求解齐次线性方程组.0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221二、齐次线性方程组的解法施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr0000342101221)3(223rrr212rr00003421035201,0342,0352432431xxxxxx,2AR由于故方程组有非零解，且有,,,342,3522413212211cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx例2求解齐次线性方程组0xxx3x20x2x5x50xxx2x30xx3x2x432132143214321解1132025511231321A0000030012101321施行初等行变换：对系数矩阵A,4n3AR由于故方程组有非零解，且有00000300121013210000010010101001则得到线性方程组0x,0xx,0xx34241cx0xcxcx4321则方程可化为为自由未知量取，x40x,xx,xx34241则方程的解为令c，x4第四节投入产出问题投入产出是分析研究经济各个部分（作为生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂惕夫1933年提出。投入产出分析的作用：为编制经济计划，特别是为编制中、长期计划提供依据分析经济结构，进行经济预测研究经济政策对经济生活的影响研究某些专门的社会问题，如污染、人口、就业以及分配等问题一、投入产出平衡表投入产出平衡表（价值型）12…n生1x11x12…x1ny1x1产2x21x22…x2ny2x2部︰︰︰…︰︰︰门nxn1xn2…xnnynxnz1z2…znx1x2…xn最终产品总产出创造价值总投入消费部门产出投入Xi表示第i个部门的总产品；yi表示第i个部门的最终产品；zj表示第j个部门的总产品二、投入产出平衡方程组1、产品分配平衡方程组nnn2n1nn2n2222121n112111yxxxxyxxxxyxxxx)n,,2,1i(yxxn1jiiji即产性消耗的总产品量个部门提供给各部门生表示第其中ix，n1jij二、投入产出平衡方程组2、产品消耗平衡方程组nnnn2n1n22n2212211n21111zxxxxzxxxxzxxxx)n,,2,1i(yxxn1jiiji即产品量个部门消耗各部门的总表示第其中jx，n1jij三、直接消耗系数定义：第j个部门生产单位产品消耗第i个部门的产品量，称为第j个部门对第i个部门的直接消耗系数，记为aij,即)n,,2,1j,i(xxajijij称为直接消耗系数矩阵,aaaaaaaaaAnn2n1nn22221n11211例：设整个国民经济分为农业、工业和其他三个部门，根据统计资料编出了简化的部门间联系平衡表，试求该经济系统的直接消耗系数矩阵？农业工业其他农业6019030320600工业90152018020103800其他30956041560042019953306003800600最终产品总产出创造价值总投入生产部门消费部门产出投入解：得出直接消耗系数矩阵由公式jijijxxa6006038009560030600180380015206009060030380019060060A1.0025.005.03.04.015.005.005.01.0A直接消耗系数的性质：)n,2,1j;n,2,1i(1a0：1ij性质)n,,2,1j(1aaa：2njj2j1性质直接消耗系数也称为投入系数，是经济系统中生产一种产品对另一种产品的消耗定额，它充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系，当生产及管理技术无显著变化时，直接消耗系数是不会改变的，因此也可以称为技术系数。四、产品分配平衡方程组的解法问题1：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A，各部门在计划期内的最终产品Y下，如何预测各部门在计划期内的总产出X？问题2：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A，各部门在计划期内的总产出X下，如何测算各部门在计划期内的最终产品Y？把直接消耗系数代入产品分配平衡方程组可得nnnn22n11nn2nn222212121nn12121111yxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxax则上式可化为矩阵方程令,)y,,y,y(Y,)x,,x,x(XTn21Tn21YX)AI(YAXX其中X即为各部门的总产品量，而Y为各部门的最终产品量定理：产品分配平衡方程组(I-A)X=Y有唯一解且为非负解。结论：（1）若各部门的总产品量X已知，则各部门的最终产品Y可由Y=(I-A)X求得（2）若各部门的最终产品Y已知，则各部门的总产品量X可由X=(I-A)-1Y求得应用举例已知一个经济系统包括三个部门，在报告期内的直接消耗系数矩阵为0.10.10.10.20.20.10.20.10.2A若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120,y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.解：列出此经济系统在计划期内的产品分配平衡表。12310.2x10.1x20.2x37520.1x10.2x20.2x312030.1x10.1x20.1x3225生产部门消费部门最终产品产出投入由表可得到此经济系统在计划期内的产品分配平衡方程组2251.01.01.01202.02.01.0752.01.02.0321332123211xxxxxxxxxxxx2259.01.01.01202.08.01.0752.01.08.0321321321xxxxxxxxx整理上式得解此方程组，对增广矩阵作初等行变换，直到化为简化阶梯形矩阵为止。225120750.90.1-0.1-0.2-0.80.1-0.2-0.1-0.8225012007509-1128-1218-300250200100010001300250200321xxx所以此方程组的解为