第二章点、直线、平面之间的位置关系自主检测试卷及答案

第二章自主检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在三棱锥V­ABC中，VA＝VC，AB＝BC，则下列结论一定成立的是()A．VA⊥BCB．AB⊥VCC．VB⊥ACD．VA⊥VB2．下列命题中，错误的是()A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交3．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则()A．P⊂αB．PαC．lαD．P∈α4．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．不能确定5．如图2­1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()图2­1A.63B.265C.155D.1056．如图2­2，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且Cl，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()图2­2A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．设x，y，z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．其中使“x⊥z，且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④B．①③C．②③D．①②9．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α10．如图2­3，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()图2­3A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α，β所成的角相等二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图2­4，正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于__________．图2­412．如图2­5，在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：图2­5①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的是________．13．如图2­6，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则二面角C1­BD­C的正切值为________．图2­614．设x，y，z是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是____________(把你认为正确的结论的代号都填上)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．三、解答题(共80分)15．(12分)如图2­7，点P是△ABC所在平面外一点，AP，AB，AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.图2­716．(12分)如图2­8，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，求证：P，Q，R三点共线．图2­817．(14分)如图2­9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．(1)求证：A1B1∥平面ABE；(2)求证：B1D1⊥AE.图2­918．(14分)如图2­10，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．图2­1019．(14分)如图2­11，在空间四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB.求证：(1)EF⊥CD；(2)平面DBC⊥平面AEF.图2­1120．(14分)如图2­12，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2­13所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝22.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F­DEG的体积VF­DEG.图2­12图2­13第二章自主检测1．C2.A3.D4.C5.D6.D7.B8.C9.D10.D11．90°12．①②解析：显然AC∥DE⇒AC∥平面PDE.取等边三角形ABC的中心O，则PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.又BO⊥AC，因此AC⊥平面POB，则AC⊥PB.∴①，②正确．13.214.①③④15．证法一(定义法)：∵AB⊥AP，AC⊥AP，∴∠BAC是二面角B­PA­C的平面角．又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝π2.∴平面PAC⊥平面PAB.证法二(定理法)：∵AB⊥PA，AB⊥AC，AB∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC.又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PAB.16．证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴由公理3知，P，Q，R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.又∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．17．证明：(1)A1B1∥ABAB⊂平面ABEA1B1⊄平面ABE⇒A1B1∥平面ABE.(2)连接A1C1，AC.∵AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，又B1D1⊥A1C1，且AA1∩A1C1＝A1，则B1D1⊥平面AA1C1C，而AE⊂平面AA1C1C，则B1D1⊥AE.18．(1)证明：如图D64，连接AC交BD于O，连接EO.∵ABCD是正方形，则又E为PC的中点，∴OE∥PA.又∵OE⊂平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE.图D64图D65(2)如图D65，过D作PA的垂线，垂足为H，则几何体是以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体，∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DA，PD＝4，DA＝DC＝3.∴PA＝5，DH＝PD·DAPA＝4×35＝125.V＝13πDH2·PH＋13πDH2·AH＝13πDH2·PA＝13π×1252×5＝485π.19．证明：(1)AD⊥平面ABC，可得AD⊥BC.又∠ABC＝90°，得BC⊥AB.则BC⊥平面ABD.又AF⊂平面ABD⇒BC⊥AFAF⊥BDBD∩BC＝B⇒AF⊥平面BCDCD⊂平面BCD⇒AF⊥CDAE⊥CD⇒⇒CD⊥平面AEFEF⊂平面AEF⇒EF⊥CD.(2)由(1)已证CD⊥平面AEF，又CD⊂平面DBC，所以平面DBC⊥平面AEF.20．(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴ADDB＝AEEC.在折叠后的三棱锥A­BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，BF＝CF＝12.∵在三棱锥A­BCF中，BC＝22，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴VF­DEG＝VE­DFG＝13×12×DG×FG×GE＝13×12×13×13×32×13＝3324.