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2017——2018学年度上学期省六校协作体高三期初考试数学(理科)试题命题人:才忠勇段爱东校对人:才忠勇段爱东第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.)1.设i为虚数单位,若1i2iz,则z的共轭复数z().A13+i22.B13i22.C31+i22.D31i222.已知全集12345U,,,,,集合125A,,,135UB,,ð,则AB为().2A.5B.1245C,,,.345D,,3.已知实数14xyz,,,,成等比数列,则xyz().A8.B8.C22.D224.已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体,其三视图如图所示,若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为5,则该几何体的体积是()4.3A.2B8.3C10.3D5.若实数xy,满足10530330xyxyxy„……,则2zxy的最小值().3A.1B.6C.6D6.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的入园顺序的排法种数是().12A.24B.36C.48D7.有六名同学参加演讲比赛,编号分别为1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,ABCD,,,四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A说:不是1号就是2号获得特等奖;B说:3号不可能获得特等奖;C说:4,5,6号不可能获得特等奖;D说;能获得特等奖的是4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,ABCD,,,中只有一个判断正确.根据以上信息,获得特等奖的是()号同学..1A.2B.3C.4,56D,号中的一个是否输出S结束i2015?A=11AS=S×Ai=i+1A=2S=1i=0开始第4题图俯视图侧视图正视图8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为().A2.B1.C1.D29.已知双曲线2222100xyabab,的两条渐近线均与圆22:650Cxyx相切,则该双曲线的离心率等于()6.2A3.2B5.5C35.5D10.已知正四棱柱1111ABCDABCD中,12AAABE,为1AA的中点,则异面直线BE与1CD所成角的余弦值为()10.10A1.5B3.5C310.10D11.已知向量(31)OA,,(13)OB,,OCmOAnOB(00)mn,,若12mn,ä,则OC||的取值范围是().A[5210),.B[525],.C(5)10,.D[5210],12.已知函数xfxeax有两个零点1x,2x,12xx,则下面说法正确的是().A122xx.Bae.C121xx.D有极小值点0x,且1202xxx第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4题,每小题5分,共20分.)13.已知tan2,则sincos.14.已知点(30)M,,(30)N,,MNP的周长是16,则MNP的顶点P的轨迹方程为.15.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则()EX.16.各项均为正数的数列na的前项和为nS,且nS满足22(1)(1)10nnnnSnnS*()nNä,则122017SSS…__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin3cosaBbA.(1)求角A的值;(2)若ABC的面积为3,ABC的周长为6,求边长a.18.(本小题满分12分)全世界越来越关注环境保护问题,某市监测站点于2016年8月1日起连续n天监测空气质量指数AQI,数据统计如下:空气质量指数3/gm0-5051-100101-150151-200201-250空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求n,m出的值,并完成频率分布直方图:(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数;(3)某人8月1日至8月3日在该市出差,设他遇到空气质量为优的天数为X,若把频率近似看做概率,求X的分布列及期望.19.(本小题满分12分)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,CDAD,AB∥CD,221CDADAB,点M在线段EC上.(1)当点M为EC中点时,求证:BM∥平面;(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为66时,求三棱锥BDEM的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点(40)P,,A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴相交于定点.21.(本小题满分12分)已知函数()e1xfxax.(1)当ea时,求函数()fx的单调区间;(2)若对任意0x…都有()0fx…恒成立,求实数a的取值范围;(3)求证:1111*23e1()nnnN,.选考题(请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑)22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为332xtyt(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为23cos.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于点A,B,若点P的坐标为(33)P,,求11PAPB的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知()211fxxx(1)求()fxx的解集;(2)若1ab,对(0)ab,,,14211xxab…恒成立,求实数x的取值范围.2017——2018学年度上学期省六校协作体高三期初考试数学(理科)答案一.选择题:1~6BCAADB7~12CBDDAD二、填空题:13.;14.;15.;16..三、解答题17.(本小题满分12分)解(1)sin3cosaBbA,sinsin3sincosABBA,(0)B,,sin0B,sin3cosAA,tan3A,(0)A,,3A.………………………………………………6分1(2)sin32ABCSbcA,4bc,又6abc,22222()21cos222bcabcbcaAbcbc22(6)8182aa,解得2a.……………………………………………………12分18.(本小题满分12分)(1)200.00450n,100n,2040105100m,25m,400.00810050,250.00510050,100.00210050,50.00110050.…………3分(2)平均数95,中位数87.5.……………………7分(3)由题,一天中空气质量为优的概率为2011005,X的所有可能取值为0,1,2,3,00331464(0)()()55125PXC,11231448(1)()()55125PXC,22131412(2)()()55125PXC,3303141(3)()()55125PXC,X的分布列为25221(0)2516xyy201720182X0123P6412548125121251125X的期望64481213()01231251251251255EX.………………………………12分19.(本小题满分12分)解:(1)以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则)0,0,2(A,)0,2,2(B)0,4,0(C,)2,0,0(E,所以)1,2,0(M.∴)1,0,2(BM………………………………………………………………………………2分又,)0,4,0(OC是平面ADEF的一个法向量.∵0OCBM即OCBM∴BM∥平面ADEF…………………………………………………………………………4分(2)设),,(zyxM,则)2,,(zyxEM,又)2,4,0(EC设10(ECEM,则,22,4,0zyx即)22,4,0(M.………6分设),,(111zyxn是平面BDM的一个法向量,则02211yxnOB0)22(411zynOM取11x得12,111zy即)12,1,1(n又由题设,)0,0,2(OA是平面ABF的一个法向量,…………………………………8分∴2166)1(4222|||||,cos|22nOAnOAnOA…………………10分即点M为EC中点,此时,2DEMS,AD为三棱锥DEMB的高,∴BDEMV342231DEMBV………………………………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆为222xyb直线60xy与圆相切,22006311b2222212432ceacabccca又解得12ca故椭圆的方程为22143xy.………………………………………4分(2)由题意知直线PB的斜率存在,所以设直线PB的方程为(4)ykx,由22(4)143ykxxy,得2222(43)3264120kxkxk,设点11()Bxy,,22()Exy,,则11()Axy,,21223243kxxk,2122641243kxxk①直线AE的方程为212221()yyyyxxxx,令0y得212221=xxxxyyy,有11(4)ykx,22(4)ykx代入上式,整理得12121224()=8xxxxxxx②将①式代入②式整理得1x,所以直线AE与x轴相交于定点(10),.………………………………………………………12分21.(本小题满分12分)解:(1)当ea时,()ee1xfxx,()eexfx,当1x时,()0fx,当1x时,()0fx,故函数()fx的单调递增区间为(1),单调递减区间为(1),.…………………………4分(2)由题,()exfxa,①当0a„时,()0fx恒成立,()fx在[0),内单调递增,()(0)0fxf…,符合题意;②当0a时,令()0fx,解得lnxa,ⅰ)当01a„时,ln0a,()fx在[0),内单调递增,()(0)0fxf…,符合题意;ⅱ)当1a时,ln0a,()fx在[0ln)a,内单调递减,()(0)0fxf,不符题意;故实数a的取值范围为(1],.………………………………………………………………8分(3)欲证111123e1nn,即证1111ln(1)23nn,由(2)知,当1a时,e10xx…,即当0x…时,ln(1)xx…,(当且仅当0x时取等).取1xn,则11ln(1)nn,即1ln(1)lnnnn,同理,1lnln(1)1nnn,1ln(1)ln(2)2nnn,…,1ln2ln1,以上各式相加,得1111ln(1)23nn,故原不
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