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第1页(共13页)2015-2016学年天津市红桥区高一(上)期末数学试卷一、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)1.=()A.B.C.D.2.已知sinα=,α为第二象限角,tanα=()A.﹣B.C.﹣D.3.已知平面向量=(1,﹣2),=(﹣2,2),则+2=()A.(3,4)B.(﹣3,2)C.(﹣1,0)D.(5,﹣6)4.已知向量=(2,﹣3),=(3,λ),且=,则λ等于()A.B.﹣2C.﹣D.﹣5.已知函数y=sin(x+)x∈R的图象为C,为了得到函数y=sin(x+)x∈R的图象,只要把C上所有点的()A.横坐标向右平行移动个单位,纵坐标不变B.横坐标向左平行移动个单位,纵坐标不变C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变D.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变6.边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=120°,=,=,=,则|++|等于()A.3B.C.2D.2+第2页(共13页)7.下列各式中,正确的是()A.sin(﹣)>sin(﹣)B.cos(﹣)>cos(﹣)C.cos250°>cos260°D.tan144°<tan148°8.下列函数中,周期为π,且在(,)上单调递减的是()A.y=sinxcosxB.y=sinx+cosxC.y=tan(x+)D.y=2cos22x﹣1二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)9.已知点A(﹣1,﹣6),B(2,﹣2),则向量的模||=.10.将1440°化为弧度,结果是.11.已知tanα=4,计算=.12.已知平面向量,满足•(+)=3,且||=2,||=1,则向量与的夹角为.三、解答题(共4小题,满分48分)13.(Ⅰ)已知向量=(3,1),=(﹣1,),若+λ与垂直,求实数λ;(Ⅱ)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=,=,用向量,分别表示向量,,,.14.已知sinα=,α.(Ⅰ)求cos2α的值;(Ⅱ)求sin(2α+)的值;(Ⅲ)求tan2α的值.第3页(共13页)15.已知函数f(x)=2sin(3x+).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅲ)当x∈[﹣,]时,求函数的最大值和最小值.16.函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx﹣,ω>0,x∈R,其相邻两对称轴的距离为.(Ⅰ)确定ω的值;(Ⅱ)在所给的平面直角坐标系中作出函数f(x)在区间[,]的图象;(Ⅲ)经过怎样的变换,由函数f(x)的图象可以得到函数y=cosx的图象?写出变换过程.第4页(共13页)2015-2016学年天津市红桥区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题4分,满分32分)1.=()A.B.C.D.【考点】运用诱导公式化简求值.【专题】三角函数的求值.【分析】原式中的角度变形后利用诱导公式化简即可得到结果.【解答】解:sin=sin(π﹣)=sin=.故选C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.2.已知sinα=,α为第二象限角,tanα=()A.﹣B.C.﹣D.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得tanα的值.【解答】解:∵sinα=,α为第二象限角,∴cosα=﹣=﹣,∴tanα==﹣,故选:A.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.3.已知平面向量=(1,﹣2),=(﹣2,2),则+2=()A.(3,4)B.(﹣3,2)C.(﹣1,0)D.(5,﹣6)第5页(共13页)【考点】平面向量的坐标运算.【专题】计算题;对应思想;定义法;平面向量及应用.【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可.【解答】解:平面向量=(1,﹣2),=(﹣2,2),则+2=(1,﹣2)+2(﹣2,2)=(1﹣4,﹣2+4)=(﹣3,2),故选:B.【点评】本题考查了向量的坐标运算,属于基础题.4.已知向量=(2,﹣3),=(3,λ),且=,则λ等于()A.B.﹣2C.﹣D.﹣【考点】平面向量的坐标运算.【专题】计算题;对应思想;定义法;平面向量及应用.【分析】由向量共线可得2×λ=﹣3×3,解之即可.【解答】解:向量=(2,﹣3),=(3,λ),且∥,∴2λ=﹣3×3,∴λ=﹣,故选:D.【点评】本题考查向量共线的充要条件,属基础题.5.已知函数y=sin(x+)x∈R的图象为C,为了得到函数y=sin(x+)x∈R的图象,只要把C上所有点的()A.横坐标向右平行移动个单位,纵坐标不变B.横坐标向左平行移动个单位,纵坐标不变C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变D.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】整体思想;定义法;三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数的关系式,进行判断即可.第6页(共13页)【解答】解:y=sin(x+)=sin[(x+)+],则为了得到函数y=sin(x+)x∈R的图象,只要把C上所有点的横坐标向左平行移动个单位,纵坐标不变,故选:B【点评】本题主要考查三角函数的图象的关系,根据解析式之间的关系是解决本题的关键.6.边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=120°,=,=,=,则|++|等于()A.3B.C.2D.2+【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;数形结合;综合法;平面向量及应用.【分析】先由余弦定理可以求出,从而根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算可得到.【解答】解:如图,根据条件,在△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=120°;∴由余弦定理得,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°=1+1+1=3;∴;∴.故选C.【点评】考查余弦定理,向量的加法的几何意义,以及向量的数乘运算.7.下列各式中,正确的是()A.sin(﹣)>sin(﹣)B.cos(﹣)>cos(﹣)C.cos250°>cos260°D.tan144°<tan148°【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】计算题;数形结合;分析法;三角函数的图像与性质.【分析】各项两式变形后,利用诱导公式化简,根据正弦与余弦函数的单调性即可做出判断.第7页(共13页)【解答】解:A,∵<<﹣<0,此时正弦函数为增函数,∴sin(﹣)<sin(﹣),错误;B,∵cos(﹣)=cos<0,cos(﹣)=cos>0,∴cos(﹣)<=>cos(﹣),错误;C,∵180°<250°<260°<270°,此时余弦函数为增函数,∴cos250°<cos260°,错误;D,90°<144°<148°<180°,此时正切函数为增函数,∴tan144°<tan148°,正确.故选:D.【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键,考查了计算能力,属于中档题,8.下列函数中,周期为π,且在(,)上单调递减的是()A.y=sinxcosxB.y=sinx+cosxC.y=tan(x+)D.y=2cos22x﹣1【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性,得出结论.【解答】解:由于y=sinxcosx=sin2x的周期为=π,且在(,)上单调递减,故满足条件.由于y=sinx+cosx=sin(x+)的周期为2π,故不满足条件.由于y=tan(x+)的周期为π,在(,)上,x+∈(,),故函数单调递增,故不满足条件.由于y=2cos22x﹣1=cos4x的周期为=,故不满足条件,故选:A.【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性,属于基础题.第8页(共13页)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)9.已知点A(﹣1,﹣6),B(2,﹣2),则向量的模||=5.【考点】平面向量的坐标运算.【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用.【分析】根据平面向量的坐标运算,求出向量的坐标表示,再求模长的大小.【解答】解:∵A(﹣1,﹣6),B(2,﹣2),∴向量=(3,4),∴||==5,故答案为:5.【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长的应用问题,是基础题目.10.将1440°化为弧度,结果是8π.【考点】弧度与角度的互化.【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值.【分析】利用1°=弧度即可得出.【解答】解:1440°=1440°×=8π弧度.故答案为:8π.【点评】本题考查了角度与弧度的互化,属于基础题.11.已知tanα=4,计算=9.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值.【分析】根据题意,利用关系式tanα=将原式化简可得原式=,将tanα=4代入即可得答案.【解答】解:∵tanα=4,∴===9.故答案为:9.第9页(共13页)【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的运用,关键是充分利用tanα=进行化简、变形,属于基础题.12.已知平面向量,满足•(+)=3,且||=2,||=1,则向量与的夹角为.【考点】数量积表示两个向量的夹角.【专题】平面向量及应用.【分析】设向量与的夹角为θ,θ∈[0,π],由•(+)=3可得=3,代入数据可得关于cosθ的方程,解之结合θ的范围可得.【解答】解:设向量与的夹角为θ,θ∈[0,π]由•(+)=3可得=3,代入数据可得22+2×1×cosθ=3,解之可得cosθ=,故可得θ=故答案为:【点评】本题考查数量积与两个向量的夹角的关系,属基础题.三、解答题(共4小题,满分48分)13.(Ⅰ)已知向量=(3,1),=(﹣1,),若+λ与垂直,求实数λ;(Ⅱ)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=,=,用向量,分别表示向量,,,.【考点】平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的运算.【专题】计算题;数形结合;综合法;平面向量及应用.【分析】(Ⅰ)进行向量坐标的数乘和加法运算即可求出的坐标,根据与垂直便有,这样即可建立关于λ的方程,从而解出λ;(Ⅱ)可画出图形,根据向量数乘、减法的几何意义以及向量的数乘运算便可用表示出向量.第10页(共13页)【解答】解:(Ⅰ)=(3,1),,则:;若与垂直,;即:,解得:λ=4;(Ⅱ)如图,;∴,,,.【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算,以及向量垂直的充要条件,向量的数量积的坐标运算,向量的数乘和减法的几何意义,以及相反向量的概念.14.已知sinα=,α.(Ⅰ)求cos2α的值;(Ⅱ)求sin(2α+)的值;(Ⅲ)求tan2α的值.【考点】二倍角的余弦;二倍角的正切.【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式,求得要求式子的值.【解答】解:(Ⅰ)∵已知,,∴.(Ⅱ)由于,所以,,∴.(Ⅲ)∵,第11页(共13页)∴.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用,属于基础题.15.已知函数f(x)=2sin(3x+).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅲ)当x∈[﹣,]时,求函数的最大值和最小值.【考点】正弦函数的图象.【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.【分析】(Ⅰ)根据f(x)=2sin(3x+),求得它的最小正周期.(Ⅱ)根据正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调增区间.(Ⅲ)当x∈[﹣,]时,利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=2sin(3x+)的最小正周期.(Ⅱ)令,k∈Z,求得﹣﹣≤x≤+,可得函数f(x)的单调增区间为.(Ⅲ)当时,,故当3x+=时,;当3x+=﹣时,.【点评】本题主要考查正弦函数的最小正周期,正弦函数的单调性,正弦函数的定义域和值域,属于基础题.16.函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx﹣,ω>0,x∈R,其相邻两对称轴的距离为.(Ⅰ)确定ω的值;第12页(共13页)(Ⅱ)在所给的平面直角坐标系中作出函数f(x)在区间[,]的图
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