《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教A版）必修三课时提升作业：（二十一） 3.3.2

课时提升作业(二十一)均匀随机数的产生(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.与均匀随机数特点不符的是()A.它是[0，1]内的任何一个实数B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数【解析】选D.A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.2.设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换y=5x+1，则x=对应变换成的均匀随机数是()A.0B.2C.4D.5【解析】选B.当x=时，y=5×+1=2.3.设x1是[0，1]内的均匀随机数，x2是[-2，1]内的均匀随机数，则x1与x2的关系是()A.x2=2x1-2B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2D.x2=x1-2【解析】选B.注意到[-2，1]的区间长度是[0，1]的区间长度3倍，因此设x2=3x1+b(b是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x1=时，x2=-，所以-=3×+b，得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.4.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()A.B.C.D.无法计算【解析】选B.因为=，所以S阴影=S正方形=.5.在区间[-1，1]上随机地取一个数x，f(x)=2x的值介于到1之间的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由2x1得-1x0，所以f(x)=2x的值介于到1之间的概率为P==.【补偿训练】设x，y是两个[0，1]上的均匀随机数，则0≤x+y≤1的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示，所求的概率为P==.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在区间[-1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为.【解析】由|x|≤1，得-1≤x≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P==.答案：7.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.【解析】以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求.所以P==.答案：8.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为.【解析】作∠AOE=∠BOD=30°，如图所示，随机试验中，射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC落在扇面DOE内，所以所求概率P=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.在长为14cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆.用随机模拟法估算该圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间的概率.【解题指南】圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型.解答本题时只需产生一组均匀随机数.【解析】设事件A表示“圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间”.(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1=RAND；(2)经过伸缩变换a=14a1得到一组[0，14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N和[3，4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；(4)计算频率fn(A)=，即为概率P(A)的近似值.【补偿训练】如图所示，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.【解析】设事件A={所投点落入小正方形内}.①用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1=RAND，b1=RNAD.②经过平移和伸缩变换，a=3a1-1.5，b=3b1-1.5，得两组[-1.5，1.5]上的均匀随机数.③统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足-1a1且-1b1的点(a，b)的个数).④计算，即为概率P(A)的近似值.10.现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x-3y-4=0和x=1，y=-1围成.【解题指南】要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x，y，可用两组均匀随机数来表示点的坐标.【解析】记事件A={飞镖落在阴影部分}.(1)用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x=2(x1-0.5)，y=2(y1-0.5)得到两组[-1，1]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1(满足6x-3y-40的点(x，y)的个数).(4)计算频率fn(A)=，即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.【一题多解】本题还可以采用以下方法利用几何概型的公式：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，所以是几何概型.阴影部分的面积为S1=··=，又正方形的面积S=4.所以飞镖落在阴影部分的概率为P==.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.如图，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况，第一种∠ACO为钝角，第二种∠OAC为钝角，根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况：第一种∠ACO为钝角，这种情况的边界是∠ACO=90°的时候，此时OC=1，所以这种情况下，满足要求的是0OC1.第二种∠OAC为钝角，这种情况的边界是∠OAC=90°的时候，此时OC=4，所以这种情况下，满足要求的是4OC5.综合两种情况，若△AOC为钝角三角形，则0OC1或4OC5.所以概率P==0.4.【误区警示】根据条件，△AOC为钝角三角形，但并没有指出哪一个角为钝角，所以解题时可能会只考虑一种情况，而导致错误的结论为0.2.2.如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A={投中大圆内}，事件B={投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C={投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=16b1-8，得到两组[-8，8]内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b236的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4a2+b216的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述-8a8，-8b8的点(a，b)的个数).则概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值分别是()A.，，B.，，C.，，D.，，【解析】选A.P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.【延伸探究】若本题条件不变，求(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?【解析】μΩ=S正方形=162=256(cm2)μA=S大圆=π×62=36π(cm2)μB=S中圆-S小圆=π×42-π×22=12π(cm2)μC=S正方形-S大圆=256-36π(cm2).由几何概型的概率公式得：(1)P(A)===，(2)P(B)===，(3)P(C)===1-.二、填空题(每小题5分，共10分)3.利用计算器在[0，1]上产生均匀随机数x，经过变换y=mx+2，使得x=时，对应的变换出的均匀随机数为4，则m的值为.【解析】当x=时，y=m×+2=4，解得m=3.答案：34.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤是：(1)利用计算器或计算机产生两组0～1之间的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND.(2)进行伸缩变换a=2a1，b=8b1.(3)数出试验总次数N和落在阴影内的样本点数N1(满足ba3的点(a，b)的个数)，用几何概型的求概率公式计算阴影部分的面积.例如，做1000次试验，即N=1000，模拟得到N1=250.由≈，得S阴影≈.【解题指南】根据题目条件可知，a=2a1，b=8b1，所以a∈[0，2]，b∈[0，8]，利用公式≈求解.【解析】由条件知，a∈[0，2]，b∈[0，8]，所以S矩=2×8=16.又由N=1000时模拟得到N1=250，所以S阴影≈×S矩=×16=4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)5.从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少?【解析】能赶上车的条件是到达乙地时汽车没有出发，我们可以用两组均匀随机数x和y来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x≤y时能赶上车.设事件A：“他能赶上车”.①利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND.②经过变换x=0.5x1+9.5，y=0.5y1+9.75.③统计出试验总次数N和满足条件x≤y的点(x，y)的个数N1.④计算频率fn(A)=，则即为概率P(A)的近似值.6.图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1m的圆，在不远处向图形ABC内掷石子，且记录如下：50次150次300次石子落在☉O内(含☉O上)的次数m144393石子落在阴影内次数n2985186试估计封闭图形ABC的面积.【解析】由记录≈1∶2，可见P(落在☉O内)==，又P(落在☉O内)=，所以=，SABC=3π(m2).即估计封闭图形ABC的面积为3πm2.