1-3-2-2函数性质的应用

1.3.2.2一、选择题1．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则()A．f(6)f(7)B．f(6)f(9)C．f(7)f(9)D．f(7)f(10)[答案]D[解析]∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)f(7)＝f(9)，故选D.2．(胶州三中2009～2010高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)[答案]D[解析]奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，f(x)－f(－x)x＝2f(x)x0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．3．f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝2x－1，则当x0时，f(x)＝()A．2x－1B．－2x＋1C．2x＋1D．－2x－1[答案]D[解析]x0时，－x0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.4．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系()A．f(a－2)f(b＋1)B．f(a－2)＝f(b＋1)C．f(a－2)f(b＋1)D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定[答案]A[解析]由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a0，因此，a－2－101＝b＋1，∴f(a－2)f(－1)＝f(1)＝f(b＋1)，故选A.5．已知f(x)为奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x＋2，则f(x)0的解集为()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案]C[解析]如图，∵x0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，∴f(x)0时，－2x0或x2.6．对于函数f(x)＝(x－1)2(x≥0)(x＋1)2(x0)，下列结论中正确的是()A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数[答案]D[解析]画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，3)∪(3，＋∞)B．(－∞，3)C．(3，＋∞)D．(－3,3)[答案]D[解析]∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－3x≤0时，f(x)0.x－3时，f(x)0，故0x3时，f(x)0，x3时，f(x)0，故使f(x)0成立的x∈(－3,3)．[点评]此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．8．(09·浙江)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数[答案]C[解析]显见当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.[点评]本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对∀x1，x2∈R，x1x2时，有f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)[x1＋x2－ax1x2]0恒成立，∴x1＋x2ax1x2恒成立，这是不可能的．9．(2010·安徽理，6)设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()[答案]D[解析]若a0，则只能是A或B选项，A中－b2a0，∴b0，从而c0与A图不符；B中－b2a0，∴b0，∴c0与B图也不符；若a0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b0时，有c0与C、D不符．当b0时，有c0，此时－b2a0，且f(0)＝c0，故选D.10．(2010·广东文，10)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、⊗如下：那么d⊗(ac)＝()A．aB．bC．cD．d[答案]A[解析]要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，ac＝c，d⊗c＝a，故选A.二、填空题11．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，它的对称轴为直线x＝2，则这个二次函数的解析式为________．[答案]y＝x2－4x－5[解析]设解析式为y＝a(x－2)2＋k，把(0，－5)和(5,0)代入得－5＝4a＋k0＝9a＋k，∴a＝1，k＝－9，∴y＝(x－2)2－9，即y＝x2－4x－5.12．函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案]12，＋∞[解析]解法1：f(x)＝a＋1－2ax＋2可视作反比例函数y＝1－2ax经平移得到的．由条件知1－2a0，∴a12.解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1x2，有f(x1)f(x2)恒成立，而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝(x1－x2)(2a－1)(x1＋2)(x2＋2)∵－2x1x2，∴x1－x20，x1＋20，x2＋20，若要f(x1)－f(x2)0，则必须且只需2a－10，故a12.∴a的取值范围是12，＋∞.三、解答题13．设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)3，求a、b、c的值．[解析]由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴ax2＋1bx＋c＋ax2＋1c－bx＝0，∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)3，∴4a＋12b3，∴4a＋1a＋13，解得：－1a2，∴a＝0或1，∴b＝12或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0.14．已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f(a－2)－f(4－a2)0，求实数a的取值范围．[解析]由f(a－2)－f(4－a2)0得f(a－2)f(4－a2)又f(x)在(－1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增，∴－1a－21－14－a210|a－2||4－a2|，解得3a5，且a≠2.15．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．[解析](1)当x2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．*16.已知函数f(x)＝2xx2＋1(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．[解析](1)函数的定义域为R.(2)∵f(－x)＝－2x1＋x2＝－f(x)∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x11＋x21－2x21＋x22＝2(x1－x2)(1－x1x2)(1＋x21)(1＋x22)当0x1x2≤1时，可知f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在(0,1]上是增函数．当1x1x2时，f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．