海淀区高三年级第一学期期末练习（文科）

第1页共4页海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(12i)（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i（2）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=EF（A）1122ABAD+（B）1122ABAD--（C）1122ABAD-+（D）1122ABAD-（3）已知数列{}na满足：22111,0,1(*)nnnaaaanN，那么使5na成立的n的最大值为（）（A）4（B）5（C）24（D）25（4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为（A）5（B）6（C）7（D）8（5）已知直线1l：110kxy++=与直线2l：210kxy+-=，那么“12kk=”是“1l∥2l”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)fxAxA=+?R的部分图象如图所示，那么(0)f=（A）12-（B）1-（C）32-（D）3-FEDCBA开始i=1,s=0s=s+2i-1is≤100i=i+1输出i结束是否第2页共4页（7）已知函数()2fxxxx，则下列结论正确的是（A）()fx是偶函数，递增区间是()0,+?（B）()fx是偶函数，递减区间是(,1)-?（C）()fx是奇函数，递减区间是()1,1-（D）()fx是奇函数，递增区间是(),0-?（8）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点(1,0)A，圆C：2220xxy++=，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（A）双曲线的一支（B）椭圆（C）抛物线（D）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145xy的离心率为.（10）已知抛物线2yax=过点1(,1)4A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为.（11）若实数,xy满足40,250,10,xyxyyì+-?ïïïï+-?íïï-?ïïî则2zxy=+的最大值为.（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C°）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C：22(1)8xy，过点(1,0)A的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l的方程为.（14）已知正三棱柱'''ABCABC-的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.设,'''ABCABC的中心分别是,'OO，现将此三棱柱绕直线'OO旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应甲城市乙城市908773124722047侧（左）视图正（主）视图43第3页共4页的俯视图的面积为()Sx，则函数()Sx的最大值为；最小正周期为.说明：“三棱柱绕直线'OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若2b=，求边,ac的长.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.（17）（本小题满分13分）在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是菱形，ACBDO=.（Ⅰ）若ACPD，求证：AC平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求证：PBPD=；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e()xfxxaxa，其中a是常数.（Ⅰ）当1a时，求()fx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求()fx在区间[0,)上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDOAP第4页共4页已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为1F(1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；（Ⅱ）设过点1F的直线交椭圆C于,AB两点，若PAB的面积为3613，求直线AB的方程.（20）（本小题满分14分）若集合A具有以下性质：①A0，A1；②若Ayx,，则Ayx，且0x时，Ax1.则称集合A是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B=-，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0x，则必有Axy；数学参考答案第1页，共6页海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32（10）54（11）7（12）乙，乙（13）1yx=+或1yx=--（14）8；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2AB，所以2coscos212sinABB==-.………………………………………2分因为3sin3B，所以11cos1233A=-?.………………………………………3分（Ⅱ）由题意可知，(0,)2BÎ.所以26cos1sin3BB=-=.………………………………………5分所以22sinsin22sincos3ABBB===.………………………………………7分因为sinsinbaBA=，2b=，所以232233a=.数学参考答案第2页，共6页所以463a=.………………………………………10分由1cos3A=可知，(0,)2AÎ.过点C作CDAB^于D.所以466110coscos23333caBbA=????.………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.………………………………………2分（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，则………………………………………4分2163PA.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分4263PB.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形所以ACBD.………………………………………1分因为ACPD，PDBDD，所以AC平面PBD.………………………………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知ACBD.因为平面PAC^平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC=，BDÌ平面ABCD，所以BD平面PAC.………………………………………5分因为POÌ平面PAC，所以BDPO.………………………………………7分因为底面ABCD是菱形，数学参考答案第3页，共6页所以BODO.所以PBPD=.………………………………………8分（Ⅲ）解：不存在.下面用反证法说明.………………………………………9分假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.在菱形ABCD中，BC∥AD，因为ADÌ平面PAD，BCË平面PAD，所以BC∥平面PAD.………………………………………11分因为BMÌ平面PBC，BCÌ平面PBC，BCBMB=，所以平面PBC∥平面PAD.………………………………………13分而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e()xfxxaxa可得2'()e[(2)]xfxxax.………………………………………2分当1a时,(1)ef,'(1)4ef.………………………………………4分所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为e4e1yx，即4e3eyx.………………………………………6分（Ⅱ）令2'()e[(2)]0xfxxax，解得(2)xa或0x.………………………………………8分当(2)0a，即2a时，在区间[0,)上，'()0fx，所以()fx是[0,)上的增函数.所以()fx的最小值为(0)f＝a;………………………………………10分当(2)0a，即2a时,'(),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2))a(2)a((2),)a'()fx0-0+MBCDOAP数学参考答案第4页，共6页()fx(0)f↘((2))fa↗由上表可知函数()fx的最小值为24((2))eaafa.……………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c=，12ca，所以2a=.所以2223bac=-=.所以椭圆C的标准方程为22143xy，左顶点P的坐标是(2,0)-.……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为1xmy=+，1122(,),(,)AxyBxy.由221,431xyxmyìïï+=ïïíïï=+ïïî可得：22(34)690mymy++-=.所以223636(34)0mm=++，122634myym+=-+，122934yym=-+.……………………………………7分所以PAB的面积21212121113()422SPFyyyyyy=-=创+-……………………………………9分222223636181()2343434mmmmm+=-+=+++.………………………………………10分因为PAB的面积为3613，所以22123413mm+=+.令21tm=+，则22(1)3113ttt=?+.解得116t=（舍），22t=.所以3m=?.数学参考答案第5页，共6页所以直线AB的方程为+310xy-=或310xy--=.……………………………………13分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B不是“好集”.理由是：假设集合B是“好集”.因为1B-?，B1，所以112B--=-?.这与2B-?矛盾.………………………………………2分有理数集Q是“好集”.因为0ÎQ，1ÎQ,对任意的,xyÎQ，有xy-?Q，且0x时，1xÎQ.所以有理数集Q是“好集”.………………………………………4分（Ⅱ）因为集合A是“好集”，所以A0.若,xyAÎ，则Ay0，即Ay.所以Ayx)(，即Ayx.………………………………………7分（Ⅲ）命题qp,均为真命题.理由如下：………………………………………9分对任意一个“好集”A，任取,xyAÎ，若yx,中有0或1时，显然Axy.下设yx,均不为0，1.由定义可知：Axxx1,11,1.所以111Axx-?-，即