北京五中2009—2010学年度上学期高三年级11月月考数学试卷（理科）

北京五中2009—2010学年度上学期高三年级11月月考数学试卷（理科）一．选择题（每题5分，共40分）1．设集合2,1A，则满足3,2,1BA的集合B的个数是()A．1B．3C．4D．82．等差数列{}na的前n项和为nS，若4518aa，则8S等于()A．18B．36C．54D．723．已知三角形ABC中，AB=2，BC=1,cosC=43,则sinA的值为()A．47B．814C．82D．8234．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为()A．25B．50C．100D．不存在5．函数)6(log)(231xxxf的单调递增区间是()A．［-21，+∞)B．［-21，2)C．(-∞，-21)D．(-3，-21)6．已知不等式9)1)((yaxyx对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．87．如果点P在平面区域01202022yyxyx上,点Q在曲线1)2(22yx上，那么|PQ|的最小值为()A．23B．154C．122D．128．定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时,有()A．)1()1()(nfnfnfB．)1()()1(nfnfnfC．)1()()1(nfnfnfD．)()1()1(nfnfnf班级_________姓名_________学号_________二.填空题（每题5分，共30分）9．1,2pxqxpq条件：条件：，则是的条件10．已知函数)0(2)0(log)(3xxxxfx，则)]91([ff=11．等比数列na的前n项和为nS，21,632Sa则公比q.12．若角cos,316sin则为锐角，且________________13．设函数21123()nnfxaaxaxax，若已知1(0)2f，且数列{}na满足2*(1)()nfnanN，则数列{}na的通项na=.14．编辑一个运算程序：112**，mnk，()*mnk11，mnk*()12，则2009*2009的输出结果为___________.北京五中2009—2010学年度上学期高三年级11月月考数学试卷（理科）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.一.选择题(每题5分,共40分)12345678二.填空题(每题5分,共30分)9..10..11..12..13..14..三.解答题15.（本题满分12分）已知函数2,42cos34sin2)(2xxxxf，．（Ⅰ）求()fx的最大值和最小值；（Ⅱ）求()fx的单调区间.班级_________姓名_________学号_________16.（本题满分14分）设数列na的前n项和22nSn，nb为等比数列，且11ab，1122)(baab．（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）设,nnnbac求数列nc的前n项和nT．17.（本题满分12分）为加快新农村建设步伐，红星镇政府投资c万元生产甲乙两种商品,据测算，投资甲商品x万元，可获得利润P=x万元,投资乙商品x万元可获得利润Q=40x万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？班级_________姓名_________学号_________18．（本题满分14分）定义在R上的单调函数)(xf满足3log)3(2f，且对任意Ryx,都有)()()(yfxfyxf.（Ⅰ）求证)(xf是奇函数;（Ⅱ）若0)293()3(xxxfkf对任意Rx恒成立，求实数k的取值范围.19.（本题满分14分）已知：函数xefxxa（其中常数0a）.（Ⅰ）求函数fx的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数,0xa，使得不等式12fx成立，求a的取值范围．班级_________姓名_________学号_________20．（本小题满分14分）已知函数1()()42xfxxR.（Ⅰ）证明：1()(1)2fxfx（Ⅱ）若数列{}na的通项公式为*()(,1,2,3)nnafmNnmm，求数列{}na的前m项和mS；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）设数列{}nb满足：2111,3nnnbbbb，设12111111nnTbbb，若（2）中的mS满足对任意不小于2的正整数n，mnST恒成立，试求m的最大值.北京五中2009—2010学年度上学期高三年级11月月考数学试卷（理科）注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一.选择题(每题5分,共40分)12345678CDBABBAC二.填空题(每题5分,共30分)9.充分但不必要.10.14.11.2或12.12.61-62.13.1(1)nn.14.2010.三.解答题15.（本题满分12分）已知函数2,42cos34sin2)(2xxxxf，．（Ⅰ）求()fx的最大值和最小值；（Ⅱ）求()fx的单调区间.解：（1）xxxf2cos3)4(sin2)(2=xx2cos3)22cos(1=12cos32sinxx=1)32sin(2x---------------3分24xx2232326x---------------1分1)32sin(21x2)32sin(21x31)32sin(22x---------------2分所以)(xf的最大值是3，最小值是2.（2）单调增区间223222kxk652262kxk12512kxk单调增区间为Zkkk),125,12(---------------3分单调减区间2323222kxk61122652kxk1211125kxk单调减区间为Zkkk),1211,125(---------------3分16.（本题满分14分）设数列na的前n项和22nSn，nb为等比数列，且11ab，1122)(baab．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设,nnnbac求数列nc的前n项和nT．解：(1)由于Sn=2n2,∴n=1时，a1=S1=2；n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,……………………（4分）当n=1时也适合.∴an=4n-2，∴b1=a1=2，b2(6-2)=b1=2，∴b2=21，∴bn=2·41n-1.……………………（8分）(2)cn=nnba=(2n-1)·4n-1，……………………（9分）∴Tn=1+3·4+5·42+…+(2n-1)·4n-1，∴4Tn=4+3·42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n，∴-3Tn=1+2·4+2·42+…+2·4n-1-(2n-1)·4n……………………（11分）=1+2·4144n-(2n-1)·4n=365n·4n-35，∴Tn=95-965n·4n.……………………（14分）17.（本题满分12分）为加快新农村建设步伐,红星镇政府投资c万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x万元,可获得利润P=x万元,投资乙商品x万元可获得利润Q=40x万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？解：设对甲厂投入x万元（0≤x≤c）,则对乙厂投入为c—x万元．所得利润为y=x+40xc（0≤x≤c）……………………（3分）令xc=t（0≤t≤c）,则x=c－t2∴y=f（t）=－t2+40t+c=－（t—20）2+c+400……………………（6分）当c≥20,即c≥400时,则t=20,即x=c—400时,ymax=c+400…（8分）当0c20,即0c400时,则t=c,即x=0时,ymax=40c．…（10分）答：若政府投资c不少于400万元时,应对甲投入c—400万元,乙对投入400万元,可获得最大利润c+400万元．政府投资c小于400万元时,应对甲不投入,的把全部资金c都投入乙商品可获得最大利润40c万元．…（12分）18．（本题满分14分）定义在R上的单调函数)(xf满足3log)3(2f,且对任意Ryx,都有)()()(yfxfyxf.（1）求证)(xf是奇函数;（2）若0)293()3(xxxfkf对任意Rx恒成立,求实数k的取值范围.解：（1）令0yx，则0)0(),0()0()0(ffff，………………（2分）令xy，则0)0()()(fxfxf，)()(xfxf………（4分）)(xf为奇函数……………………（6分）（2）因为)(xf在R上的单调，且3log)3(2f1)0(f所以)(xf在R上的单调增函数.……………………（8分）又0)2933()293()3(xxxxxxkffkf即(f)0()2933fkxxx……………………（10分）02933xxxk13233329xxxxxk)(Rx……………………（12分）令1323)(xxxg03x,122)(xg,当且仅当2log213x时等号成立.122k……………………（14分）19.（本题满分14分）已知：函数xefxxa（其中常数0a）.（Ⅰ）求函数fx的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数,0xa，使得不等式12fx成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）函数fx的定义域为xxa………………………1分2211xxxexaexaefxxaxa.…………………………3分由0fx，解得1xa.由0fx，解得1xa且xa．∴fx的单调递增区间为1,a，单调递减区间为,a，,1aa．…6分（Ⅱ）由题意可知，0a，且xefxxa在,0a上的最小值小于等于12时，存在实数,0xa，使得不等式12fx成立．……………7分若10a即1a时，x,1aaa+11,0afx0+fx↘极小值↗∴fx在,0a上的最小值为11afae．则112ae，得1ln12a………………………………………10分若10a即1a时，fx在,0a上单调递减，则fx在,0a上的最小值为10fa。由112a得2a（舍）．…………………………13分综上所述，1ln12a……………………14分20．（本小题满分14分）已知函数1()()42xfxxR。（1）证明：1()(1)2fxfx（2）若数列{}na的通项公式为*()(,1,2,3)nnafmNnmm，求数列{}na的前m项和mS；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（3）设数列{}nb满足：2111,3nnnbbbb，设12111111nnTbbb，若（2）中的mS满足对任意不小于2的正整数n，mnST恒成立，试求m的最大值。解：（1）证明：1()42xfx1144(1)4