广东龙川一中2012届第一学期高三八月考试（理数）

1龙川一中2012届第一学期高三八月考试数学（理）试卷答卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集U是实数集,R22,Mxxx或,2430Nxxx.则图中阴影部分所表示的集合是（）A.{|21}xxB.{|22}xxC.{|12}xxD.{|2}xx2、设(12)34izi，则||z为A．553B．2215C．5D．53、已知直线m，n和平面α，那么m∥n的一个必要但非充分条件是（）A.m∥α，n∥αB.m⊥α，n⊥αC.m∥α且nαD.m，n与α成等角4、函数)1(logxya(0a1)的图象大致是（）5、若平面向量b与向量)1,2(a共线反向，且52||b，则A．)2,4(B．)2,4(C)3,6(D．)2,4(或)2,4(6、如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AAABC面，正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（）A．3B．32C．1D．327、在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“sin3cos1xx”发生的概率为（）A．14B．13C．12D．238、对于任意实数a、b，当0b时，定义运算2log(01)2(01)babaaaabbabaaa且或≤，2则满足方程xx)2(2的实数x所在的区间为@s@[e-mail].（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．必做题（9～13题9、直线10xy交圆22:1Mxy于AB,两点，则线段AB的垂直平分线的方程为10、定义运算abadbccd，函数12()3xfxxx图像的顶点是(,)mn，且kmnr、、、成等差数列，则kr11、如右图所示的算法流程图中，输出S的值为．12、函数12xy与x轴围成的面积是__________.13、已知函数124xxf的定义域是ba,（ba,是整数），值域是1,0,则满足条件的定义域的可能情况共有种.选做题：（二选一）14．在极坐标系中，曲线4sin与cos1相交点,AB,则||AB．15．（几何证明选讲）如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EFFGBCAD三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）设函数()sincosfxmxx()xR的图象经过点π2，1．（1）求()yfx的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（2）若()2sin12fA，其中A是面积为332的锐角ABC的内角，且2AB，求AC和BC的长。17.（本小题满分12分）3某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；（3）记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望.w.w.w.高考资源网.c.o.m18、（本小题满分14分）如图，四棱锥SABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且2,1ADSA．（1）求证：PD平面SAP（2）求二面角ASDP的余弦值的大小．19．（本小题满分14分）如右图所示的平面直角坐标系xoy中，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若.||2PDd（1）求点P的轨迹方程；（2）直线l过Q（0，2）且与轨迹P交于M、N两点，若以MN为直径的圆过原点O,求出直线l的方程.20（本小题满分14分）已知数列{}na，其前n项和nS满足121nnSS（是大于0的常数），且131,7SS.（1）求的值；（2）求数列{}na的通项公式；4（3）设数列{}nna的前n项和为nT，试比较2nT与nS的大小.21、（本小题满分14分）已知函数2,mxfxmnRxn在1x处取得极值2.（1）求fx的解析式；（2）设A是曲线yfx上除原点O外的任意一点，过线段OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；（3）设函数22gxxaxa，若对于任意1xR的，总存在21,1x，使得21gxfx，求实数a的取值范围.5参考答案三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．解：（Ⅰ）函数()sincosfxmxx()xR的图象经过点π2，1sincos122m1m()sincos2sin()4fxxxx函数的最小正周期2T…………………4分当2()4xkkZ时，()fx的最大值为2，当52()4xkkZ时，()fx最小值为2…………………….6分（Ⅱ）因为()2sin12fA即()2sin2sin123fA∴sinsin3A∵A是面积为332的锐角ABC的内角，3A13sin322ABCSABACA3AC由余弦定理得：2222cos7BCACABABACA7BC--------12分17.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215，从乙组中应抽取的人数为35115；-----2分618（Ⅰ）证明：因为SA底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角……………1分由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=2，…………3分又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以PDAP.………4分因为SA⊥底面ABCD,PD平面ABCD,所以SA⊥PD,…………………………………………5分由于SA∩AP=A所以PD平面SAP．………6分（Ⅱ）设Q为AD的中点,连结PQ,…………………7分由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD…………………8分PQAD,PQ⊥平面SAD，SD平面SAD,PQSD.过Q作QRSD，垂足为R，连接PR，则SDPR面Q.又PRPR面Q，SDPR，∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．……10分容易证明△DRQ∽△DAS,则QRDQSASD.因为11DQSA，，5SD，PSDCBARQPSDCBAxyz7所以15DQQRSASD.…………………12分在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，53022PQQRPR,所以66PRRQPRQCOS.…………………13分所以二面角A－SD－P的余弦为66．…………………14分解法二：因为SA底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角.……1分由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1建立空间直角坐标系（如图）由已知，P为BC中点．于是A（0,0,0）、B（1,0,0）、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）-3分（Ⅰ）易求得AP（1，1，0）,)0,1,1(PD，)1,1,1(PS．…………………4分因为110110APPD，，（，，0），1101110PDPS，，（，，）.所以PDAP，PDPS.由于APSPP，所以PD平面SAP.…………………6分（Ⅱ）设平面SPD的法向量为)1,,(yxn.由00PDnPSn,得001yxyx解得21yx，所以11(,,1)22n.…………………9分又因为AB⊥平面SAD，所以AB是平面SAD的法向量，易得1,0,0AB.…………………10分所以162,611144ABnCOSABnABn.…………13分所以所求二面角BSAC的余弦值为66．…………………14分8（10分）且M、N的横坐标,MNxx就是（※）的两个解，于是有：2268,1212MNMNkxxxxkk又∵MN为直径的圆过原点在椭圆上，∴0OMON，即0MNMNxxyy也即：(2)(12)0MNMNxxkxkx∴22226(1)18401212kkkk，解得：5k∴直线l方程为520520xyxy或………………14分9（Ⅲ）01221122232(1)22nnnTnn①23212122232(2)2(1)22nnnnTnnn②①－②得：221122222nnnnTn.则221nnnTn,……………………………11分12213(21)(3)2222nnnnnnTnSn………12分∴当1n时，111022TS.当2n时，221022TS.即当1n或2n时，0,22nnnnTTSS.………………………………13分当3n时，0,22nnnnTTSS.………………………………14分1020200222200204200022200200044164224121644,,54214420,,555OAxxxfxxxxkfxxxxxxx依题意得即所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为258559，或258559，-……9分(Ⅲ)224111xxfxx，令011fxxx，得或.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：11fx在1x处取得极小值12f，在1x处取得极大值12f又0x时，0fx，fx的最小值为-2……………………11分对于任意的1xR，总存在21,1x，使得21gxfx当1,1x时，gx最小值不大于-2又2222gxxaxaxaaa当1a时，gx的最小值为113ga，由132a得1a………………………………………12分当1a时，gx最小值为11ga，由12a，得3a当11a时，gx的最小值为2gaaa由22aa，得1a或2a，又11a，所以此时a不存在.………………………………13分综上，a的取值范围是13，，………………………14分