江苏省扬州中学2010届高三上学期期中考试数学2009.11

12999数学网全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．若集合{1,2,3,4},{1,2},{2,3}UMN，则()UCMN=▲.2．已知命题:,sin1pxRx,则p为▲.3.已知平面向量1,2a，2,2xxb，若ab，则实数x=▲.4.复数1ii在复平面内对应的点位于第▲象限．5.已知等差数列}{na的公差为2，若134,,aaa成等比数列，则1a等于▲.6.如图，ABC中，2CDDB，设ADmABnAC（,mn为实数），则mn=▲.7.若一个长方体的长、宽、高分别为5米、4米、3米，则其外接球的表面积为▲米2.8.若实数yx,满足622yxyx，则yxz3的最大值为▲.9.已知平面向量a与b的夹角为120°，5a,8b，则ab=▲.10.已知等差数列}{na的前n项和为nS，若3766aa，，则下列四个命题中真命题的序号为▲．①46SS②45SS③65SS④65SS11.设,为互不重合的平面，,mn为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,mnmn则；②若,,mnm∥,n∥，则∥；ABCDABCD12999数学网页③若,,,,mnnmn则；④若,,//,//mmnn则.其中正确命题的序号为▲.12.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，D为BC的中点，则ADBC·▲.13.已知关于x的一元二次不等式022bxax的解集为}1|{axx，则227abab（其中ba）的最小值为▲.14.设等差数列{}na的各项均为整数，其公差0d，65a，若，，，，，，tnnnaaaaa2153)5(21tnnn成等比数列，则1n的值为▲.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．设函数()fx·ab，其中向量(,cos2)mxa，(1sin2,1)xb，xR，且()yfx的图象经过点π24，．（1）求实数m的值；（2）求()fx的最小正周期．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，ABAC，D、E分别为BC、CB1的中点，（1）求证：11//DEABBA平面；（2）求证：1ADEBBC平面平面ECABC1A1B1DECABC1A1B1D12999数学网（本题满分15分）已知集合107xAxx，22220Bxxxaa（1）当4a时，求AB；（2）若AB，求实数a的取值范围.18．（本题满分15分）已知数列}{na的前n项和22nSnn，设数列}{nb满足2lognnab，（1）求数列}{na的通项公式;（2）求数列}{nb的前n项和nT;（3）设1122nnnGababab，求nG.12999数学网．（本题满分16分）已知函数ln()xfxx（1）求函数()fx的单调区间；（2）设0,a求函数()fx在2,4aa上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a、()bab，使baab，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．20.（本题满分16分）已知函数6()5fxx，数列na满足：11*nnaa,afa,nN（1）若对于*nN，都有1nnaa成立，求实数a的值；（2）若对于*nN，都有1nnaa成立，求实数a的取值范围；（3）请你构造一个无穷数列nb,使其满足下列两个条件，并加以证明：①1nnbb，*nN；②当a为nb中的任意一项时，na中必有某一项的值为1．12999数学网页高三数学试题第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效．1．（本题满分10分）已知二项式31nxx的展开式中各项系数和为256，（1）求n；（2）求展开式中的常数项．2．（本题满分10分）设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍，纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵．（1）求逆矩阵1M；（2）求椭圆22194xy在矩阵1M作用下变换得到的新曲线的方程．3．（本题满分10分）已知矩阵M121a，其中Ra，若点(1,7)P在矩阵M的变换下得到点(15,9)P，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.4．（本题满分10分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用.（1）求①号面需要更换的概率；（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.扬中12999数学网．111、42、,sin1xRx3、14、一5、－86、17、508、149、710、②④11、①③12、413、614、1115．解：（1）()(1sin2)cos2fxabmxx，∵图象经过点π24，，∴πππ1sincos2422fm，解得1m．（2）当1m时，π()1sin2cos22sin214fxxxx，∴22T16、证明：（1）在1CBB中，∵D、E分别为BC、CB1的中点，∴1//DEBB4分又11111,BBABBADEABBA平面平面∴11//.DEABBA平面………………7分（2）∵三棱柱111CBAABC是直三棱柱∴1BBABC平面，∵AD平面ABC，∴1BBAD………………9分∵在ABC中，ACAB，D为BC的中点，∴ADBC………………11分∵1,BBBCB1BB、BC平面1,BBC∴AD平面1BBC12999数学网平面ADE∴1ADEBBC平面平面.………………14分17.解：（1）|17Axx，………………2分当4a时，2|224046Bxxxxx，………………4分∴1,6AB………………5分（2）()(2)0Bxxaxa①当1a时，,BAB不成立；………………8分②当2,aa即1a时，(,2),Baa1,27aABa，解得5;a………………11分③当2,aa即1a时，(2,),Baa21,7aABa解得7;a………………14分综上，当AB，实数a的取值范围是(,7][5,)．………………15分注：第（2）小题也可以用恒成立处理，即22220xxaa在1,7上恒成立18、解：（1）∵22nSnn∴当2n时，121nnnaSSn；当1n时，113aS，也满足上式，∴综上得21nan………………5分（2）由2lognnab得2122nannb，23121242nnnnbb，数列}{nb是等比数列，其中18,4bq35218(14)8222(41)143nnnnT………………10分（3）35213252(21)2nnGn12999数学网页∴57212343252(21)2(23)2nnnGnn两式相减得：3572123332(222222)(21)2nnnGn即：1682223238488416(14)324(222)(21)224(21)2143nnnnnnnGnn∴488489nnnG………………15分19．解：（1）定义域为(0,)，21ln()xfxx，令21ln()0xfxx，则ex，当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下表：∴()fx的单调增区间为(0,)e；单调减区间为(,)e.………………4分（2）由（1）知()fx在(0,)e上单调递增，在(,)e上单调递减，所以，当4ae时，即4ea时，()fx在2,4aa上单调递增，∴min()(2);fxfa当2ae时，()fx在2,4aa上单调递减，∴min()(4)fxfa当24aea时，即42eea时，()fx在2,ae上单调递增，()fx在,4ea上单调递减，∴min()min(2),(4).fxfafa下面比较(2),(4)fafa的大小，………………8分∵ln(2)(4),4afafaa∴若14ea，则()(2)0,fafa此时minln2()(2);2afxfaa若12ea，则()(2)0,fafa此时minln4()(4);4afxfaa………………10分综上得：当01a时，minln2()(2)2afxfaa；当1a时，minln4()(4)4afxfaa，………………12分（3）正确，a的取值范围是ea1………………16分x(0,e)e(e,)'()fx+0()fx↗1e↘12999数学网页注：理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x时，)(xf0或者由极限得lnlim0xxx又∵()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减∴)(xf的大致图象如右图所示∴总存在正实数ba、且bea1，使得)()(bfaf，即bbaalnln，即abba．20.解：（1）由题意得1nnaaa∴56aaa，得2a或3，检验符合．…4分（2）设1nnaa，即56nnnaaa，解得0na或23na∴要使得21aa成立，则10a或123a………………6分①当10a时，121156655aaaa，而2223222223560aaaaaaaa，即32aa，不满足题意．………8分②当123a时，231266523523a,,a,aa，，23na,，此时，123560nnnnnnnnaaaaaaaa，∴1nnaa，满足题意．综上，23a,．………………10分（3）构造数列nb：113625nnb,bb，下面证明此数列满足要求．此时165nnbb