2011年高考一轮课时训练(理)3.3.2函数模型及其应用 (通用版)

第二节函数模型及其应用题号12345答案一、选择题1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大()A．2B．4C．5D．62．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下()A.3×0.5100克B．(1－0.5%)3克C．0.925克D.1000.125克3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款()A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元4．如图甲所示，图甲点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是图乙中的()图乙5．(2008年揭阳模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如右图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元B．20元C．30元D.403元二、填空题6．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r%增加到(r＋10)%，那么r的值等于________．7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如右图所示：据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．8．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．三、解答题9．某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．10．(2009年柳州模拟)某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率P与日生产量x(x∈N*)件间的关系为P＝x＋20200，0x≤15x2＋3003000，15x≤30每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．(1)将日利润y(元)表示日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？(注：次品率P＝次品个数产品总数×100%，正品率＝1－P)参考答案1．解析：设年平均利润为g(x)，则g(x)＝－x2＋12x－25x＝12－(x＋25x)．∵x＋25x≥2x·25x＝10，∴当x＝25x，即x＝5时，g(x)max＝2.答案：C2．解析：设放射性元素后一年比前一年减少了x，则100年后只剩原来质量的a(1－x)100，依题意得：a(1－x)100＝12a，1－x＝1000.5，∴()1－x3＝1000.53＝1000.125，故选D.答案：D3．解析：此人购买的商品原价为168＋423÷90%＝638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%＋(638－500)×70%＝450＋96.5＝546.6元．答案：C4．解析：当0≤x≤1时，y＝12·x·1＝12x；当1＜x≤2时，y＝1－12(x－1)－14(2－x)－14＝－14x＋34；当2＜x≤2.5时，y＝12(52－x)×1＝54－12x.则y＝12x，0≤x≤1，－14x＋34，1＜x≤2，－12x＋54，2＜x≤2.5.图形为A.答案：A5．解析：两种话费相差为Δy，第5题图根据几何关系可得：Δy＝Δy′，又Δy′＝10，∴Δy＝10.答案：A6．解析：销售利润＝销售价－进价进价×100%.设销售价为y，进价为x，则y－xx×100%＝r%，y－x1－8%x1－8%×100%＝r＋10%.解之得r＝15.答案：157．解析：(1)由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点()0.1，1在直线上，∴k＝10；同理，当t0.1时，可得1＝1160.1－a⇒0.1－a＝0⇒a＝110.(2)由题意可得y≤0.25＝14，即得10t≤140≤t≤0.1或116t－110≤14t0.1⇒0≤t≤140或t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y＝10t()0≤t≤0.1116t－110()t0.1(2)0.68．解析：总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.故当Q＝300时，总利润最大值为2500万元．答案：2500万元9．解析：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为200x米，总造价y＝4002x＋2×200x＋248×200x×2＋80×200＝800x＋324x＋16000，由题设条件0x≤16，0200x≤16，解得12.5≤x≤16，即函数定义域为[12.5,16]．(2)先研究函数y＝f(x)＝800x＋324x＋16000在[12.5,16]上的单调性，对于任意的x1，x2∈[12.5,16]，不妨设x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝800x2－x1＋3241x2－1x1＝800(x2－x1)1－324x1x2，∵12.5≤x1≤x2≤16，∴0＜x1x2＜162＜324，∴324x1x21，即1－324x1x2＜0.又x2－x10，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，故函数y＝f(x)在[12.5,16]上是减函数．∴当x＝16时，y取得最小值，此时，ymin＝80016＋32416＋16000＝45000(元)，200x＝20016＝12.5(米)．综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低价为45000元．10．解析：(1)y＝29001－x＋20200x－1100·x＋20200·x，0x≤15，29001－x2＋3003000x－1100·x2＋3003000·x，15x≤30，＝2500x－20x2，0x≤15，2500x－43x3，15x≤30.(2)当0x≤15时，y＝2500x－20x2＝－20x－12522＋20·12522，∴当x＝15时，y取得最大值33000(元)．当15x≤30时，y′＝2500－4x2，令y′＝2500－4x2＝0，得x＝25；当15x25时，y′0；当25x≤30时，y′0，∴y＝2500x－43x3在区间(15,25]上单调递增，在区间[25,30]上单调递减．故当x＝25时，y取得最大值，其值为2500×25－43×253＝1250003(元)．∵330001250003，∴当x＝25时，y取得最大值为1250003(元)．答：该厂的日产量为25件时，日利润最大．