2011年高考一轮课时训练(理)12.6二项式定理的应用 (通用版)

第六节二项式定理的应用一、选择题1．若x2－1xn展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为()A．－84B．84C．－36D．36答案：B2．(2009年丰台模拟)设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N，若M－N＝240,则展开式中x3的系数为()A．－150B．150C．－500D．500答案：B3．若n为奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除得的余数是()A．0B．2C．7D．8解析：∵7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7＝8n－1＝()9－1n－1＝9n－C1n9n－1＋…＋()－1n－1Cn－1n9＋()－1n－1因为n为奇数，所以原式＝[9n－C1n9n－1＋…＋()－1n－1Cn－1n9]－2，所以，其余数为7，故选C.答案：C4．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1B．－1C．0D．2答案：A5．(2009年南靖一中月考)设a、b、m为整数(m＞0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b(modm)．已知a＝1＋C120＋C220·2＋C320·22＋…＋C2020·219，b≡a(mod10)，则b的值可以是()A．2015B．2011C．2008D．2006答案：B二、填空题6．(2009年成都模拟)如果x＋x2＋x3＋…＋x9＋x10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a9(1＋x)9＋a10(1＋x)10，则a9＝________.解析：令1＋x＝y，则x＝y－1，原式变为(y－1)＋(y－1)2＋…＋(y－1)9＋(y－1)10＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a9y9＋a10y10，可知a9＝1＋C910(－1)＝－9.答案：－97．设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x2项的系数为________．解析：f′(x)＝10·(1－2x)9·(－2)＝－20(1－2x)9，x2项的系数为－20·C29(－2)2＝－2880.答案：－28808．3100被7除的余数为________．解析：3100＝3×2733，2733＝(28－1)33＝(4×7－1)33被7除的余数为6，故3×2733被7除的余数等于18被7除的余数即4.答案：4三、解答题9．若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11.求：(1)a1＋a2＋a3＋…＋a11；(2)a0＋a2＋a4＋…＋a10.解析：(1)(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－26，①又令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a11＝－26－1＝－65.(2)再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝0②①＋②得a0＋a2＋…＋a10＝12(－26＋0)＝－32.10．设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1()n∈N＋，q≠±1，An＝C1na1＋C2na2＋…＋Cnnan.(1)用q和n表示An；(2)又设b1＋b2＋…＋bn＝An2n.求证：数列{}bn是等比数列．解析：(1)∵q≠1，∴an＝1－qn1－q.∴An＝1－q1－qC1n＋1－q21－qC2n＋…＋1－qn1－qCnn＝11－q[(C1n＋C2n＋…＋Cnn)－(C1nq＋C2nq2＋…＋Cnnqn)]＝11－q[2n－(1＋q)n]．(2)证明：∵b1＋b2＋…＋bn＝An2n＝11－q1－1＋q2n，∴b1＋b2＋…＋bn－1＝11－q1－1＋q2n－1()n≥2两式相减得：bn＝121＋q2n－1()n≥2∴bn＋1bn＝1＋q2≠0，∴{}bn是等比数列．