哈尔滨市2016-2017学年高二下期末考试数学试题(理)含答案

哈尔滨市2016—2017学年度下学期期末考试高二下理科数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设集合2430Axxx,B230xx,则AB（）A．33,2B．33,2C．31,2D．3,322．已知i是虚数单位，则ii124=（）A．i3B．i3C．i3D．i33．已知2(1)fxx，则()fx的解析式为（）A．2()21fxxxB．2()21fxxxC．2()21fxxxD．2()21fxxx4．设()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx，则()f（）A．3B．C．1D．35．已知“kx”是“113x”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．，2B．，1C．,2D．1,6．设6.05.16.05.1,6.0,6.0cba，则cba,,的大小关系是()A．cbaB．bcaC．cabD．acb7．2321(2)xx展开式中的常数项为（）A．8B．12C．20D．208．下列四个结论中正确的个数是()①若qp为假命题，则qp,均为假命题；②命题：“1sin,xRx”的否定是“1sin,00xRx”；③“若,4x则1tanx”的逆命题为真命题；④若)(xf是R上的奇函数，则0)3(log)2(log23ffA．1B．2C．3D．49．函数xxxy222sin的图象大致为()10.如图，ABC中的阴影部分是由曲线2yx与直线20xy所围成，向ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．732B．932C．716D．91611.函数)(xf的图象与12xgx的图象关于直线yx对称，则22fxx的单调减区间为（）A．,1B．1,C．0,1D．1,212.已知函数xxxfsin)(，则)20174033()20173()20172()20171(ffff（）A．4033B．4033C．4034D．4034二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数21)(xxxf的定义域为_______________14.设X为随机变量，若~X1(6,)2N，当(2)(5)PXaPX时，a的值为______15.若不等式012txx对于一切1(0,)2x成立，则t的取值范围是16.函数)0(,log)0(,1)(2xxxxxf，则函数1)]([xffy的零点个数是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为)(sincos5为参数yx．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2)4cos(．l与C交于BA,两点．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点)2,0(P，求|PB||PA|的值．18.（本小题满分12分）已知函数)21)(4()(2xxxf．（1）求函数fx的单调性；（2）求函数fx在2,2上的最大值和最小值．19.（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在60,50的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在90,80之间的频数，并计算频率分布直方图中90,80间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：75（包含75分）分以上为良好，90分（包含90分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为X，求X的概率分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，底面为正方形的直四棱柱1111DCBAABCD中，421ABAA，点E在1CC上，且ECEC31.(1)证明：CA1平面BED；(2)求二面角BDEA1的余弦值．21.（本小题满分12分）已知函数2()(1)lnfxaxx．（1）若()yfx在2x处的切线与y垂直，求a的值；（2）若()0fx在[1,)上恒成立，求a的取值范围；22.（本小题满分12分）如图，过顶点在原点O，对称轴为y轴的抛物线E上的定点(2,1)A作斜率分别为12,kk的直线，分别交抛物线E于,BC两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若1212kkkk，且ABC的面积为85，求直线BC的方程．1-5DBCBA6-10CCAAD11-12CA13.，22,114.915.25t16.714.17.解:(Ⅰ)曲线C的普通方程为15:22yxC......2分直线l的直角坐标方程：2:xyl....5分(Ⅱ)点)2,0(P在l上,l的参数方程为)(22222为参数ttytx代入15:22yxC整理得：........8分......10分18.解：（1）在4,1,,3上单调递增；在41,3上单调递减.........6分（2）maxmin950,227fxfx.....12分（列表2分）19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图得分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，....1分由茎叶图得分类在[50，60）的人数为2人，∴全班人数为：2508.02人．....3分（Ⅱ）由茎叶图得分数在[80，90）之间的频数为：25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人，∵成绩为[80，90）间的频数为4，∴频率分布直方图中[80，90）间矩形的高为：016.010254．....6分（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，由茎叶图知分数在良好以上有11人，其中分数为优秀有2人，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，....9分∴X的分布列为：E（X）==...12分20.解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题设知B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．则DE＝(0,2,1)，DB＝(2,2,0)，1AC＝(－2,2，－4)，1DA＝(2,0,4)......3分(1)证明：∵1AC·DB＝0，1AC·DE＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥DE.又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE..........6分(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥DE、n⊥1DA.∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．.....8分∴cos〈n，1AC〉＝111442ACACnn......10分∴二面角A1－DE－B的余弦值为1442....12分21.(1)81；(2)21a；X012P解析：（1）∵()fx的定义域为(0,)，1'()2fxaxx，∴'(2)0f，即18a．....4分（2）∵1'()2fxaxx，①当0a时，'()0fx，∴()fx在[1,)上单调递减，∴当1x时，()(1)0fxf矛盾．②当0a时，221'()axfxx，令'()0fx，得12xa；'()0fx，得102xa．（i）当112a，即102a时，1(1,)2xa时，'()0fx，即()fx递减，∴()(1)0fxf矛盾．（ii）当112a，即12a时，[1,)x时，'()0fx，即()fx递增，∴()(1)0fxf满足题意．综上:12a．.......8分22.解：由0得3k或1k．又22212||1||14BCkxxkkm，点(2,1)A到直线BC的距离2|21|1kmdk．21||2|21|852ABCSBCdkmkm，又23mk，∴2280kk，解得4k或2k，都满足0．当4k时，24311m，则直线BC的方程为：411yx；当2k时，(2)(2)31m，则直线BC的方程为：21yx．