黄冈市2016-2017学年高二下期末考试数学试题(理)含解析

2017学年黄冈市高二（下）期末试题数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A.[－4，－2]B.(－∞，1]C.[1，＋∞)D.(－2，1]【答案】B【解析】由题意可得：，且，则，即.2.已知复数，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得：，则复数的虚部为.本题选择D选项.3.随机变量～，若，则为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，故选D．4.若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】四名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=种不同的报名方法，故选C5.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）广告费23456销售额2941505971由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为8万元时的销售额约为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，，将点代入，解得，即，当时，，故选D.6.从中不放回地依次取个数，事件表示“第次取到的是奇数”，事件表示“第次取到的是奇数”，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，，∴，故选D．考点：条件概率与独立事件．7.已知函数，则的图象大致是(）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：,故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当时，,排除C，只有A适合，故选：A．考点：函数的图像和性质8.如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由定积分可得，阴影部分的面积为：，由几何概型公式可得：.本题选择A选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)=.9.若且，则和的值满足（）A.和都大于2B.和都小于2C.和中至少有一个小于2D.以上说法都不对【答案】C【解析】假设和同时成立.因为x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得1+x+1+y≥2(x+y)，即x+y≤2，这与x+y＞2相矛盾，因此和中至少有一个小于2.本题选择C选项.点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.10.2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（）A.25﹪B.50﹪C.70﹪D.75﹪【答案】C【解析】，且：，据此估计生物体内碳14的含量应最接近于70﹪.本题选择C选项.11.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：.仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为()A.44B.45C.46D.47【答案】C2017从3开始的第1008个奇数，据此可得.本题选择C选项.12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令可得：，学￥科￥网...令,令,则在区间上单调递减，在区间上g(x)单调递增，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，当时，，.本题选择C选项.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【答案】【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．14.已知函数，则曲线在处的切线方程是_________【答案】【解析】由题意可得：，令可得：，即：，且：，切线过点，斜率为，则切线方程为.15.设，则等于______________【答案】135【解析】解：，当时，可得：.16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得=2（负值舍去）”。那么，可用类比的方法，求出的值是________．【答案】【解析】试题分析：由题观察可类比得;考点：类比推理.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）学￥科￥网...17.已知定义在上的函数是奇函数．⑴求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】⑴；⑵.【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.试题解析：⑴∵是定义在上的奇函数，∴，∴．∴，，∴，即对一切实数都成立．∴，∴．⑵不等式等价于．又是上的减函数，∴．∴对恒成立，∴．即实数的取值范围是．考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域.18.为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．附:＝0．5000．4000．1000．0100．0010．4550．7082．7066．63510．828【答案】（1）有%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）利用公式计算得，故有把握；（2）的可能取值为，且满足二项分布，由此求得分布列和期望．试题解析：（1）因为所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（2）的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为：X0123P因为，所以考点：1．独立性检验；2．二项分布．19.如图,某段铁路AB长为80公里，,且公里，为将货物从A地运往C地,现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.（1）将总运费y表示为x的函数.（2）如何选点M才使总运费最小？【答案】（1）；（2）当在距离点为公里时的点处修筑公路至时总运费最省．【解析】试题分析：（1）有已知中铁路长为，且，为将货物从运往，现在上距点为的点处修一条公路至，已知单位距离的铁路运费为，公路运费为，我们可以计算公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由到的总运费；（2）由（1）中所得的总运费表示为的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，以及憨厚的最小值点，得到答案.试题解析：（1）依题中，铁路长为,且,将货物从运往,现在上的距点为的点处修一公路至,且单位距离的铁路运费为,公路运费为.铁路上的运费为,公路上的运费为,则由到的总运费为.（2）,令,解得,或（舍）.当时,；当时,；学￥科￥网...故当时,取得最小值,即当在距离点为时的点处修筑公路至时总运费最省.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数求解函数的极值与最值问题，本题的解答中，根据题意列出到的总运费为的函数关系式是关键，再利用导数研究函数的单调性及求解函数的极值、最值，着重考查了分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.20.已知数列的前项和为，且（1）试求出，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式。【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先根据数列的前项的和求得，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出；（2）利用数学归纳法证明猜想成立，由可直接求出的表达式.试题解析：（1）解：`猜想证明：（1）当时，等式成立。假设当时，等式成立，即。当时，，∴时，等式也成立。综上1）2）知，对于任意，都成立。又点睛：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，归纳推理与数学归纳法证明等式等问题；数学归纳法的注意事项：①明确初始值并验证真假；②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.21.设函数．（1）求的极值；（2）当时，试证明：．【答案】（1）极大值=；（2）证明见解析．【解析】试题分析：(1)首先求解导函数，然后利用导函数的性质讨论函数的单调性求解极值即可；(2)构造函数，利用不等式的特点结合新构造的函数进行证明即可得出结论.试题解析：（1）函数定义域为，当时，，所以当时，极大值=．函数无极小值。学￥科￥网...（Ⅱ）要证，只需证，只需证…设，则由（1）知在单调递减即在上是减函数，而，故原不等式成立22.选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．【答案】（1）（为参数），；（2）.【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线的参数方程，把曲线的方程为化为直角坐标方程；（2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果.试题解析：（1）∵化为直角坐标可得，，∴直线的参数方程为：∵，∴曲线的直角坐标方程：，得：，∴，，∴．考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．23.选修45：不等式选讲设函数，不等式的解集是．（1）求实数的值；（2）若对一切恒成立，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用公式法解绝对值不等式，根据条件建方程，求得；（2）通过三角绝对值不等式求函数的最值.试题解析：（1）由题意可知，，解得，∵不等式的解集是，∴解得．（2）∵，∴，学￥科￥网...当时，，∴．考点：绝对值不等式的有关知识和综合运用．