全国I卷2015高三最后一模数学(文)试题及答案

2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）设集合21,0,1,|MNxxx,则MN（A）1,0,1（B）0,1（C）1（D）0（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2（B）z的实部为1（C）z的虚部为－i（D）z的共轭复数为－1＋i（3）不等式x－1x2－4＞0的解集是（A）(－2，1)∪(2，＋∞)（B）(2，＋∞)（C）(－2，1)（D）(－∞，－2)∪(1，＋∞)（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41)（B）[21，41]（C）(21，41]（D）[21，41)（5）已知p：x∈R，ax2－ax＋1≥0，q：(a－1)2≤1；则p是q成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数f(x)＝(x＋2)3－(12)x的零点所在区间是（A）(－2，－1)（B）(－1，0)（C）(0，1)（D）(1，2)（7）已知向量a=（1,2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则c=开始是x≤81？否输入xx＝2x－1结束k＝0输出kk＝k＋1（A）（79，73）（B）（73，79）（C）（73，79）（D）（－79，－73）（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）1136（B）3（C）533（D）433（9）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝52，且a2＋a4＝54，则Snan＝（A）4n－1（B）4n－1（C）2n－1（D）2n－1（10）已知函数f(x)＝cos(2x＋π3)，g(x)＝sin(2x＋2π3)，将f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合（A）向右平移π12（B）向左平移π6（C）向左平移π12（D）向右平移π6（11）过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（A）2（B）2（C）5（D）3（12）函数，其图像的对称中心是（A）（1，－1）（B）（－1，1）（C）（0，1）（D）（0，－1）第Ⅱ卷侧视图俯视图正视图1123二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在等差数列{an}中，a7＝8，前7项和S7＝42，则其公差是为_________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1,d2,d3，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在圆O：x2＋y2＝1上，B，C两点在直线3x+y+3=0上，若|AB－AC|＝4，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋3cosA＝2sinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：甲乙9707863311057983213（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）若AB＝2，求三棱柱ABC-A1B1C1体积．d1d2d3BCAPBCB1B1AC1A1A1（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数x轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）已知．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为BC︵的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f(x)＝|x－3|＋|x－4|．（Ⅰ）解不等式f(x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2015年高考文科数学押题密卷(全国新课标I卷)ABCDEO参考答案一、选择题：BDACBBDCDAAC二、填空题：（13）23；（14）100；（15）[125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sinA＋3cosA＝2sinB即2sin(A＋3)＝2sinB，则sin(A＋3)＝sinB．…3分因为0＜A，B＜，又a≥b进而A≥B，所以A＋3＝－B，故A＋B＝23，C＝3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝23[sinA＋sin(A＋3)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋6)．…10分当A＝3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19．……………………………7分从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种可能，……………………………9分其中恰好有1场得分在10分以下的情形是：(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，共8种可能，所求概率P＝815．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…4分（Ⅱ）设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO＝32BC＝32AB＝3．连结AB1，则VC-ABB1＝13S△ABB1·CO＝16AB2·CO＝233．…8分因VB1-ABC＝VC-ABB1＝13VABC-A1B1C1＝233，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝23．………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a2＋1b2＝1，①且a2－b2a＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C的方程为x26＋y23＝1．………………………………………………5分（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－41＋2k2，x1＝－4k2＋4k＋21＋2k2．设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝－4k2－4k＋21＋2k2．………………………………………………9分因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k1＋2k2＝1，因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f(x)=BCB1B1AC1A1A1O当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．…………………………2分∵x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）．f(a)=lna＋1=0，可知a=1.……………………………5分（Ⅱ）令1＋，由x0得知t1，，于是原不等式等价于：.……………………………7分取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g(t)＜0，g(t)单调递减，当t∈(1，＋∞)时，g(t)＞0，g(t)单调递增．∴g(t)g(1)=0，也就是.∴.……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE，因为D为BC︵的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB．（Ⅱ）因为D为BC︵的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD．ACCD＝ADCEAD·CD＝AC·CE2AD·CD＝AC·2CE2AD·CD＝AC·BC．（23）解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．………………………5分（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．……………………………7分C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝322，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋322．………………………10分（24）（Ⅰ）f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝7－2x，x＜3，1，3≤x≤4，2x－7，x＞4．………………………2分作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为52和92，由图象知不等式f(x)≤2的解集为[52，92]．………………………5分EBOACD（Ⅱ）函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)．…………………10分3Oxy45292－1y＝2y＝ax－1y＝f(x)y＝ax－1a＝12a＝－