西安市长安区2017-2018学年高二下期末考试数学试题(理)含答案

长安2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,集合22Mxxx或,2430Nxxx,则图中阴影部分所表示的集合是（）A．}12|{xxB．}22|{xxC．}21|{xxD．}2|{xx2.下面是关于复数iiz131的四个命题：其中的真命题为（）①在复平面内，复数z对应的点位于第二象限②复数z的虚部是-2③复数z是纯虚数④5zA.①②B.①③C.②④D.③④3．设0.213121log3,,23abc,则（）A．B．C．D．4．已知向量a＝(1，－cos)，b＝(1，2cos)且a⊥b，则cos2等于()A．－1B．0C.12D.225.在ABC中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a、b、c，若32ab，BA2，则Bcos等于（）A．33B．43Ｃ．53Ｄ．636．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）正视图侧视图俯视图5343A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为=35S，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A.7kB.6kC.6kD.6k8.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm9.下列说法中，正确的是（）A．命题“若22ambm，则ab”的逆命题是真命题B．命题“存在0,2xxRx”的否定是：“任意0,2xxRx”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．“0b”是“函数2()fxaxbxc是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(00A，，||2)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点()A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R上的函数yfx对任意x都满足1fxfx，且当01x时，fxx，则函数ln||gxfxx的零点个数为()A．2B．3C.4D．512.定义在R上的函数()fx满足：()()1,(0)4,fxfxf则不等式()3xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.0,B.,03,C.,00,D.3,二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数yfx()的定义域为(]，1，则函数yfx[log()]222的定义域是________14.已知0(sincos)attdt，则61()axx的展开式中的常数项为.15.函数)1,0(log1)(aaxxfa的图像恒过定点A，若点A在直线02nymx上，其中,0mn则nm11得最小值为.16．已知函数ln,021,0xxfxxx若方程fxax有三个不同的实数根，则a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列.109,10,}{11nnnnSaaSna项和为的前9，9991nSann（1）求证：1na是等比数列；(2)若数列nb满足Nnaabnnn1lg1lg11,求数列nb的前n项和nT；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA平面ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且1,,ABAAEF分别是1,CCBC的中点.（Ⅰ）求证：1BF平面AEF；（Ⅱ）求锐二面角1BAEF的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.FEC1B1A1CBA（1）请先求出n、a、b、c的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望.20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点F与抛物线24yx的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为2，倾斜角为45的直线l过点F.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F，问抛物线24yx上是否存在一点M，使得M与1F关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题共12分）已知函数()1xfxex（Ⅰ）求()yfx在点1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln3x，满足10xaex成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当0x时，2()fxtx恒成立，求t的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．组号分组频数频率第1组165,16050.050第2组170,165ab第3组175,17030c第4组180,175200.200第5组[180,185]100.100频率/组距成绩1851801751700.080.070.060.050.040.030.02O0.01160165在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为325425xtyt(t为参数)．曲线C2:2240xyy，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为(22,4)．(I)求曲线C2的极坐标方程；(Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点，求11PMPN的值.23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知2fxxmmR．(I)当m=0时，求不等式25fxx的解集；(Ⅱ)对于任意实数x，不等式222xfxm成立，求m的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABBCDBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2,222，14.2515.216.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992a，故101112aa，当nSannn9921时，①又9991nSann②②－①整理得：1011n1naa，故1na是等比数列，（2）由（1）知，且nnnqaa101111，nan1lg，11lg1nan)1(11lg1lg11nnaabnnn11431321211nnTn11141313121211nnNnnn118.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，∴AFBC.又三棱柱111ABCABC为直三棱柱，∴面ABC面11BBCC，FEC1B1A1CBA∴AF面11BBCC，1AFBF.设11ABAA，则11633,,222BFEFBE.∴22211BFEFBE，∴1BFEF.又AFEFF，∴1BF平面AEF.（Ⅱ）以F为坐标原点，,FAFB分别为,xy轴建立直角坐标系如图，设11ABAA，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222FABE，221(,,)222AE，122(,,1)22AB.由（Ⅰ）知，1BF平面AEF，∴可取平面AEF的法向量12(0,,1)2mFB.设平面1BAE的法向量为(,,)nxyz，由12210,0,220,2220222220,022xyznAExyznABxyzxyz∴可取(3,1,22)n.设锐二面角1BAEF的大小为，则222222203(1)12262cos|cos,|6||||20()13(1)(22)2mnmnmn.∴所求锐二面角1BAEF的余弦值为66.19.（本小题共12分）【解】：（1）由第1组频率/组距成绩1851801751700.080.070.060.050.040.030.02O0.01160165zyxABCA1B1C1EF的数据可得100050.05n，第2组的频率b=350.0507.0，第2组的频数为a=35507.0100人,第3组的频率为c=300.300100,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360人,…6分第4组:206260人,…7分第5组:106160人,…8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.（3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20.（本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线xy42的焦点为)0,1(F，准线方程为1x，∴122ba①又椭圆截抛物线的准线1x所得弦长为2，∴得上交点为)22,1(，∴121122ba②由①代入②得01224bb，解得12b或212b（舍去），从而2122ba∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121xy（Ⅱ）∵倾斜角为45的直线l过点F，∴直线l的方程为)1(45tanxy，即1xy，ξ012P由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1F，设),(00yxM与1F关于直线l对称，则得12)1(2011100000xyxy，解得2100yx，即)2,1(M，又)2,1(M满足xy42，故点M在抛物线上.所以抛物线xy42上存在一点)2,1(M，使得M与1F关于直线l对称.21.（本小题共12分）解：(Ⅰ)1xfxe12fefx在1,1f处的切线方程为：211yeex即11yex(Ⅱ)1xaex即afx令10xfxe0x0x时，0fx，0x时，0fxfx在,0上减，在0,上增又041,ln3x时，fx的最大值在区间端点处取到.11111fee444ln1ln333f41441141ln1lnln033333ffee41ln3ff