选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.下列命题中不正确的命题个数是()①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面；③若a、b共线，则a与b所在直线平行。A.1B.2C.3D.42.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG=xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为()A.（41，41，41）B.（43，43，43）C.（31，31，31）D.（32，32，32）3．在平行六面体ABCD－EFGH中，AGxACyAFzAH，________.xyz则4.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________.5.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MNxAByADzAP的实数x、y、z的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.352．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ABAC，_C_D_A_P__N_B_M0ACAD，0ABAD，则△BCD的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定的3．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(AA+AD+AB)=3(AB)()0;C1111②AABAA60;11向量与向量的夹角为ADAB③11111立方体ABCD-ABCD的体积为|ABAAAD|;④4．如图，已知：平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°（1）证明：C1C⊥BD；（2）当1CDCC的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA，(，1，4)OBxyz，且平行四边形OACB的对角线的中点坐标为M31(0，，)22，则(，，)xyz()A．(2，4，1)B．(2，4，1)C．(2，4，1)D．(2，4，1)2．已知(2，2，4)a，(1，1，2)b，(6，6，12)c，则向量、、abc()A．可构成直角三角形B．可构成锐角三角形C．可构成钝角三角形D．不能构成三角形3．若两点的坐标是A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则|AB|的取值范围是()A．[0，5]B．[1，5]C．（1，5）D．[1，25]4.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，则a的值为.5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，侧棱长为2a.建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.C1B1A1BA3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为()A．222{(,,)|(1)(1)4}xyzxyzB．222{(,,)|(1)(1)4}xyzxyzC．222{(,,)|(1)(1)2}xyzxyzD．222{(,,)|(1)(1)2}xyzxyz2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A．42B．32C．33D．233.已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC.（1）求证：1AC平面1ABC；（2）求1C到平面1AAB的距离；（3）求二面角1AABC余弦值的大小.B4.如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB=1，13ACAA，∠ABC=60°.(1)证明：1ABAC；（2）求二面角A—1AC—B的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.CBAC1B1A1D1C1B1A1DABCC_C_D_A_S_F_B参考答案第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a+3b－5c5.如图所示，取PC的中点E，连结NE，则MNENEM.∵1122ENCDBA=12AB，ENPMPE=211326PCPCPC，连结AC，则PCACAPABADAP∴11()26MNABABADAP=211366ABADAP，∴211,,366xyz.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3.③④4.（1）设1,,CBaCDbCCc，则||||ab，BDCDCBba，所以1()||||cos60||||cos600CCbacbcacbcacBD，11BDCCBDCC即；（2）1,2,CDxCDCC1设则2CC=x，111,BDAACCBDAC面，11:0xACCD只须求满足，设1,,AAaADbDCc，11,ACabcCDac，2211242()()6ACCDabcacaabbccxx，令24260xx，则2320xx，解得1x，或23x（舍去），111,.ACCBD1CD时能使平面CC§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_C_D_A_P__N_B_M_EzC1B1A1MByAx1.A2.D3.B4.165.（1）建系如图，则A（0，0，0）B（0，a，0）A1（0，0，2a)，C1（-23a，a2,2a)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，于是M（0，a2,2a），连结AM，MC1则有13(,0,0)2MCa(0,,0)ABa，1(0,02)AAa，∴10MCAB，110MCAA，所以，MC1⊥平面ABB1A1.因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.13(,,2)22aACaa，(0,,2)2aAMa，2194aACAM，而|13||3,||2ACaAMa，由cos1,ACAM=1132||||ACAMACAM，1,ACAM=30°.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB的中点E，则//DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又1AD平面ABC，以1,,DEDCDA为,,xyz轴建立空间坐标系，则0,1,0A，0,1,0C，2,1,0B，10,0,At，10,2,Ct，10,3,ACt，12,1,BAt，2,0,0CB，由10ACCB，知1ACCB，又11BAAC，从而1AC平面1ABC.（2）由1AC2130BAt，得3t.设平面1AAB的法向量为,,nxyz，10,1,3AA，2,2,0AB，所以130220nAAyznABxy，设1z，则3,3,1n，所以点1C到平面1AAB的距离1ACndn2217.（3）再设平面1ABC的法向量为,,mxyz，10,1,3CA，2,0,0CB，所以13020mCAyzmCBx，设1z，则0,3,1m，故cos,mnmnmn77，根据法向量的方向，可知二面角1AABC的余弦值大小为77.4.（1）三棱柱111ABCABC为直三棱柱，11ABAAACAA，，RtABC，1,3,60ABACABC，由正弦定理030ACB.090BACABAC即.如右图，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)ABCA1(1,0,0),(0,3,3)ABAC，110030(3)0ABAC，1ABAC.(2)如图可取(1,0,0)mAB为平面1AAC的法向量，设平面1ABC的法向量为(,,)nlmn，则10,0,130BCnACnBC又（，，），303,330lmlmnmmn.不妨取1,(3,1,1)mn则，22222231101015cos,5(3)11100mnmnmn.1AACBD15二面角的大小为arccos5.5.（1）连结BD，设AC交于BD于O，由题意知SOABCD平面.以O为坐标原点，OBOCOS，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如右图.设底面边长为a，则高62SOa.于是62(0,0,),(,0,0)22SaDa，2(0,,0)2Ca，2(0,,0)2OCa，26(,0,)22SDaa，0OCSD，故OCSD.从而ACSD.(2)由题设知，平面PAC的一个法向量26(,0,)22DSaa，平面DAC的一个法向量6002aOS（，，），设所求二面角为，则3cos2OSDSOSDS，得所求二面角的大小为30°.（3）在棱SC上存在一点E使//BEPAC平面.由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且2626,0,),(0,,)2222DSaaCSaa（.设,CEtCS则226(,(1),)222BEBCCEBCtCSaatat，而103BEDCt.即当:2:1SEEC时，BEDS.而BE不在平面PAC内，故//BEPAC平面.作者于华东责任编辑庞保军_C_D_A_S_F_BO