2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第1章 导数及其应用1.7 Word版含解析

第一章1.7A级基础巩固一、选择题1.如图所示，阴影部分的面积是导学号84624403(C)A．23B．2－3C．323D．353[解析]S＝－31(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C．2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是导学号84624404(B)A．31mB．36mC．38mD．40m[解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故应选B．3．利用定积分的几何意义，可求得－339－x2dx＝导学号84624405(B)A．9πB．92πC．94πD．32π[解析]由定积分的几何意义知，－339－x2dx表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方部分(即半圆)的面积，∴－339－x2dx＝12×π×32＝9π2.4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为导学号84624163(D)A．22B．42C．2D．4[解析]如图所示由y＝4x，y＝x3.解得x＝2，y＝8，或x＝－2，y＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝02(4x－x3)dx＝(2x2－x44)|20＝8－4＝4.5．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车？导学号84624406(A)A．405B．540C．810D．945[解析]停车时v(t)＝0，则27－0.9t＝0，∴t＝30s，s＝030v(t)dt＝030(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|300＝405.6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为导学号84624407(D)A．12B．3－322C．6＋32D．6－32[解析]3636tdt＝6t|63＝6－32，故应选D．二、填空题7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是__18__.导学号84624408[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2x，y＝x－4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝－24(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则f′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.8．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是43.导学号84624409[解析]解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)．由对称性知阴影部分的面积S＝2·[01(x2－14x2)dx＋12(1－14x2)dx]＝2·[14x3|10＋(x－112x3)|21]＝2×(14＋512)＝43.解法3：同解法1求得A(1,1)B，(2,1)，C(－1,1)，D(－2，1)．S＝－22(1－14x2)dx－－11(1－x2)dx＝(x－112x3)|2－2－(x－13x3)|1－1＝83－43＝43.解法4:同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，由对称性知，S＝201(2y－y)dy＝201ydy＝2×(23y32|10)＝43.三、解答题9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积.导学号84624410[解析]由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3，解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.10．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：导学号84624411(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s内运动的路程．[解析](1)在时刻t＝4时该点的位置为04(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|40＝43(m)，即在t＝4s时刻该质点距出发点43m.(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝01(t2－4t＋3)dt＋|13(t2－4t＋3)dt|＋34(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|10＋|(13t3－2t2＋3t)|31|＋(13t3－2t2＋3t)|43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4s内运动的路程为4m.B级素养提升一、选择题1．若1a(2x＋1x)dx＝3＋ln2且a1，则实数a的值是导学号84624412(A)A．2B．3C．5D．6[解析]1a(2x＋1x)dx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－(1＋ln1)＝3＋ln2，a1，∴a2＋lna＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a＝2，故选A．2．(2016·济南高二检测)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为导学号84624413(B)A．2e2B．1－2e2C．1eD．1－1e[解析]由题意得：S阴＝201(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2，由几何概型得所求概率P＝1－S阴S正＝1－2e2.二、填空题3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为16.导学号84624414[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型．联立y＝xy＝x解得x＝0y＝0，或者x＝1y＝1，∴O(0,0)，B(1,1)，∴S阴影＝01(x－x)dx＝(23x32－x22)|10＝23－12＝16，∴P＝S阴影S正方形＝161＝16.4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__3__.导学号84624415[解析]∵切点M在切线y＝12x＋2上，∴f(1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k＝12，∴f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.三、解答题5．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.导学号84624416(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x＝－t(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴f－2＝1，f′－2＝－2.∵f′(x)＝2ax＋b，∴a·－22＋b·－2＋1＝1，2a·－2＋b＝－2.∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S＝－10(x2＋2x＋1)dx＝(13x3＋x2＋x)|0－1＝13.(3)依题意，有12S＝－t0(x2＋2x＋1)dx＝(13x3＋x2＋x)|0－t＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.6．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.导学号84624417(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．[解析](1)设点P的横坐标为t(0t2)，则点P的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3，因为S1＝S2，所以16t3＝83－2t＋16t3，解得t＝43，故点P的坐标为(43，169)．(2)令S＝S1＋S2，由(1)知，S＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，则S′＝t2－2，令S′＝0，得t2－2＝0，因为0t2，所以t＝2，又当0t2时，S′0；当2t2时，S′0；故当t＝2时，S1＋S2有最小值，最小值为83－423，此时点P的坐标为(2，2)．