2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第2章 推理与证明2.2.1 Word版含解析

第二章2.22.2.1A级基础巩固一、选择题1．(2016·三明高二检测)在△ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则△ABC一定是导学号84624541(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．(2016·济宁高二检测)命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了导学号84624542(B)A．分析法B．综合法C．分析法与综合法D．演绎法3．(2016·德州高二检测)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)0的实数x的取值范围为导学号84624543(B)A．(0,2)B．(－2,1)C．(－1,2)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]本题主要考查对不等式解法，以及对定义运算的理解，由定义得x(x－2)＋2x＋x－20，即x2＋x－20，∴－2x1.故选B．4．若两个正实数x、y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4m2－3m有解，则实数m的取值范围是导学号84624544(B)A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[解析]∵x0，y0，1x＋4y＝1，∴x＋y4＝(x＋y4)(1x＋4y)＝2＋y4x＋4xy≥2＋2y4x·4xy＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋y4的最小值为4，要使不等式m2－3mx＋y4有解，应有m2－3m4，∴m－1或m4，故选B．5．已知yx0，且x＋y＝1，那么导学号84624545(D)A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y[解析]∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38.所以有x2xyx＋y2y，故排除A、B、C，选D．6．已知函数f(x)＝12x，a、b∈R＋，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系为导学号84624546(A)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A[解析]a＋b2≥ab≥2aba＋b，又函数f(x)＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f(a＋b2)≤f(ab)≤f(2aba＋b)．二、填空题7．如果aa＋bbab＋ba，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.导学号84624547[解析]aa＋bbab＋ba⇔aa＋bb－ab－ba0⇔a(a－b)＋b(b－a)0⇔(a－b)(a－b)0⇔(a＋b)(a－b)20只需a≠b且a，b都不小于零即可．8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是__4__.导学号84624548[解析]∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由y＝4－x，y＝x得x＝2，∴x1＋x22＝2，∴x1＋x2＝4.三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：1nn－n－1.导学号84624549[证明]要证1nn－n－1，即证1n－nn－1，只需证nn－1n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)(n－1)2，只需证nn－1，只需证0－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，导学号84624550求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可．∵aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋ma＋mb＋mc＋m，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.B级素养提升一、选择题1．要使3a－3b3a－b成立，a、b应满足的条件是导学号84624551(D)A．ab0且abB．ab0且abC．ab0且abD．ab0且ab或ab0且ab[解析]3a－3b3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2ba－b.∴3ab23a2b.∴当ab0时，有3b3a，即ba；当ab0时，有3b3a，即ba.2．(2016·洛阳高二检测)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个.导学号84624552(A)A．3B．2C．1D．0[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A．二、填空题3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝－12.导学号84624553[解析]由题意sinα＋sinβ＝－sinγ①cosα＋cosβ＝－cosγ②①，②两边同时平方相加得2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝12cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.4．(2016·余姚高二检测)观察下列等式：导学号846245541－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，……据此规律，第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.[解析]第一个等式右端是一个数，左端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n个等式左端的分母从1到2n，右端分母从n＋1到2n；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n个等式为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.三、解答题5．已知A、B是△ABC的两个内角．向量m＝(cosA－B2)i＋(52sinA＋B2)j，其中i，j为相互垂直的单位向量．若|m|＝324，证明：tanA·tanB＝19.导学号84624555[证明]|m|2＝m2＝cos2A－B2＋54·sin2A＋B2＝1＋cosA－B2＋54·1－cosA＋B2，由|m|2＝98，得cos(A－B)＝54cos(A＋B)．∴4(cosAcosB＋sinAsinB)＝5(cosAcosB－sinAsinB)．即9sinA·sinB＝cosA·cosB．又∵A，B是△ABC的内角，∴cosAcosB≠0，故tanAtanB＝19.6．已知a、b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1a＋b43.导学号84624556[证明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2＋ab＋b2得(a＋b)2a＋b，又a＋b0，∴a＋b1，要证a＋b43，即证3(a＋b)4，∵a＋b0，∴只需证明3(a＋b)24(a＋b)，又a＋b＝a2＋ab＋b2，即证3(a＋b)24(a2＋ab＋b2)，也就是证明(a－b)20.因为a、b是不等正数，故(a－b)20成立．故a＋b43成立．综上，得1a＋b43.C级能力拔高在某两个正数m，n之间插入一个数x，使m，x，n成等差数列，插入两个数y，z，使m，y，z，n成等比数列.导学号84624557求证：(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．[证明]由已知可得2x＝m＋ny2＝mzz2＝yn，所以m＝y2z，n＝z2y，即m＋n＝y2z＋z2y，从而2x＝y2z＋z2y.要证(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)，只需证x＋1≥y＋1z＋1成立．要证x＋1≥y＋1z＋1成立，只需证x＋1≥y＋1＋z＋12即可．也就是证2x≥y＋z，而2x＝y2z＋z2y，则只需证y2z＋z2y≥y＋z成立即可．即y3＋z3≥yz(y＋z)，只需证y2－yz＋z2≥yz，即证(y－z)2≥0成立，由于(y－z)2≥0显然成立，所以(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．