2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.3.1 Word版

第二章2.32.3.1A级基础巩固一、选择题1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为导学号51124505(B)A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)[解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.2．已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P0.5m0.2则其数学期望E(X)等于导学号51124506(D)A．1B．0.6C．2＋3mD．2.4[解析]由0.5＋m＋0.2＝1得，m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是导学号51124507(C)A．nB．(n－1)MNC．nMND．(n＋1)MN[解析]设抽到的次品数为X，∵共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝nMN.4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝导学号51124508(B)A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22[解析]由题意知，X取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.5．(2016·珠海高二检测)若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于导学号51124509(D)X012345P2x3x7x2x3xxA．118B．19C．209D．920[解析]由2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝118，所以E(X)＝0×218＋1×318＋2×718＋3×218＋4×318＋5×118＝209.6．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是导学号51124510(A)A．0B．3C．6D．12[解析]由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.二、填空题7．某射手射击所得环数X的分布列如下：导学号51124511X78910Px0.10.3y已知X的期望E(X)＝8.9，则y的值为__0.4__.[解析]∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，解得x＝0.2y＝0.4.8．一袋中装有分别标记着1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X、Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝43.导学号51124512[解析]由题意知ξ的取值为0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝333＝19，P(ξ＝1)＝2×2×333＝49，P(ξ＝2)＝2×3＋A3333＝49，∴E(ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.9．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：导学号51124513X012P12－pp12则E(X)的最大值为32.[解析]由表可得0≤12－p≤1，0≤p≤1，从而得P∈[0，12]，期望值E(X)＝0×(12－p)＋1×p＋2×12＝p＋1，当且仅当p＝12时，E(X)最大值＝32.三、解答题10．(2016·衡水中学高二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：导学号51124514环数击中频率选手78910甲0.20.150.3乙0.20.20.35请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？[解析](1)记甲运动员击中n环为事件An；乙运动员击中n环为事件Bn(n＝1,2,3，…，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A9∪A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9∪B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9∪A10与事件B9∪B10独立．∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65，P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55.∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.3575.(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，由题意知X、Y的可能取值为：7、8、9、10.甲运动员射击环数X的概率分布列为：X78910P0.20.150.30.35甲运动员射击环数X的均值E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.乙运动员射击环数Y的概率分布列为：Y78910P0.20.250.20.35乙运动员射击环数Y的均值E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.∵E(X)E(Y)，∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．B级素养提升一、选择题1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为导学号51124515(A)A．89B．35C．25D．13[解析]∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴－b2a0，即ba0，∴a与b同号．∴ξ的分布列为：ξ012P134929∴E(ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为导学号51124516(A)A．3B．4C．5D．2[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，P(ξ＝0)＝C27－xC27＝7－x6－x42，P(ξ＝1)＝C1x·C17－xC27＝x7－x21，P(ξ＝2)＝C2xC27＝xx－142，∴0×7－x6－x42＋1×x7－x21＋2×xx－142＝67，∴x＝3.二、填空题3．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝110.导学号51124517[解析]由条件知a＋b×1＋2a＋b×2＋3a＋b×3＋4a＋b×4＝3，a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，∴30a＋10b＝3，10a＋4b＝1，∴a＝110b＝0，∴a＋b＝110.4．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为13.导学号51124518ξ1234P14mn112[解析]η＝4ξ－2⇒E(η)＝4E(ξ)－2⇒7＝4·E(ξ)－2⇒E(ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得n＝13.三、解答题5．(2016·南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示.导学号51124519(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．[解析](1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，∴由频率分布直方图得0.015＋a＋b＋0.015＋0.010×10＝1，2b＝a＋0.015.解得a＝0.035，b＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150,200,250,300.P(X＝150)＝C36C310＝16，P(X＝200)＝C26C14C310＝12，P(X＝250)＝C16C24C310＝310，P(X＝300)＝C34C310＝130，∴X的分布列为：X150200250300P1612310130E(X)＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.6．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.导学号51124520(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析](1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116，解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设和(1)知P(A)＝12，P(A)＝12，P(B)＝34，P(B)＝14.ξ可能的取值为0、1、2、3，故P(ξ＝0)＝P(A)P(B·B)＝12×(14)2＝132，P(ξ＝1)＝P(A)P(B·B)＋C12P(B)P(B)·P(A)＝12×(14)2＋2×34×14×12＝732，P(ξ＝3)＝P(A)P(B·B)＝12×(34)2＝932，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1532.ξ的分布列为：ξ0123P1327321532932ξ的数学期望E(ξ)＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2.C级能力拔高浙江卫视的《中国好声音(TheVoiceofChina)》节目是大型励志专业音乐评论节目．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导学号51124521导师转身人数(人)4321获得相应导师转身的选手人数(人)1221现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况．(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X).[解析](1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转身，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身．从6人中随机抽取两人有C26＝15种情况，其中选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的有C22＋C12C11＝3(种)，故所求概率为P＝315＝15.(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7.P(X＝3)＝C12C11C26＝215；P(X＝4)＝15；P(X＝5)＝1＋C12C12C26＝515＝13；P(X＝6)＝C12C11＋C22C26＝315＝15；P(X＝7)＝C12C11C26＝215.所以X的分布列如下：X34567P215315515315215由X的分布列，可得E(X)＝3×215＋4×315＋5×515＋6×315＋7×215＝5