2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.1 第1课时 Word版含

第一章1.1第1课时A级基础巩固一、选择题1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为导学号51124017(A)A．13种B．16种C．24种D．48种[解析]应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A．2．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为导学号51124018(B)A．9B．12C．18D．24[解析]每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.3．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为导学号51124019(C)A．34B．43C．12D．24[解析]显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步乘法计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C．4．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为导学号51124020(D)A．26B．24C．20D．19[解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是导学号51124021(B)A．8种B．9种C．10种D．11种[解析]设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．6．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为导学号51124022(B)A．24B．18C．12D．6[解析](1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．二、填空题7．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，共得__4__个不同的偶数.导学号51124023[解析]由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数，分两类，第一类，两个数都是偶数，2＋4＝6,2＋6＝8,4＋6＝10，共得3个偶数，第二类，两个数都是奇数，1＋3＝4,1＋5＝6,3＋5＝8，共得3个偶数，∵2＋6＝3＋5,2＋4＝1＋5，∴从数字1,2,3,4,5,6中取两个相加，共得4个不同的偶数，故答案为4.8．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示__22__条不同的直线.导学号51124024[解析]若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__48__种．(用数字作答)导学号51124025[解析]本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．三、解答题10．有不同的红球8个，不同的白球7个.导学号51124026(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？[解析](1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种；(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种．B级素养提升一、选择题1．(2016·石家庄高二检测)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为导学号51124027(B)A．243B．252C．261D．279[解析]用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.2．(2016·天津高二检测)设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是导学号51124028(C)A．12B．916C．1116D．1316[解析]根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为m0，所以f′(x)＝3x2＋m0；故f(x)＝x3＋mx＋n在R上单调递增，若函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点，则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.∴m＋n≤－1且2m＋n≥－8，∴－2m－8≤n≤－m－1，当m＝1时，n取－2，－4，－8；m＝2时，n取－4，－8，－12；m＝3时，n取－4，－8，－12；m＝4时，n取－8，－12；共11种取法，而m有4种选法，n有4种选法，则函数f(x)＝x3＋mx＋n情况有4×4＝16种，故函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是1116，故选C．二、填空题3．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__9__种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法__20__种.导学号51124029[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．4．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__2n(n－1)__.导学号51124030[解析]先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形．三、解答题5．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai、bj(i＝1、2、3、4，j＝1、2)均为实数.导学号51124031(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？[解析](1)因为集合A中的每个元素ai(i＝1、2、3、4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．(2)在(1)的映射中，a1、a2、a3、a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．6．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}．现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标.导学号51124032(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个？[解析](1)一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点．由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24(个)．(2)第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A、B的正数，同样可分为两类，类似于(1)．由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个)．C级能力拔高如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案.导学号51124033[解析]本题的解法可按照顺序涂色，但要注意分A，C是同色或不同色两类，也可按照涂色种类分为涂4种、3种或2种颜色，然后在每类中分步．解法一：按A，C颜色相同或不同进行分类．若A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80种涂法．若A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180种涂法．根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260种不同的涂色方案．解法二：按涂色种类进行分类．第一类：涂4种颜色，分四步：A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法．故共有5×4×3×2＝120种涂法．第二类：涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同．当A，C颜色相同时，A，C有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法．故共有5×4×3＝60种涂法．当B，D颜色相同时，同理也有60种不同的涂法，故共有60＋60＝120种涂法．第三类：涂2种颜色，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，A，C有5种涂法，B，D有4种涂法．故共有5×4＝20种涂法．根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260种不同的涂色方案．