2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测：（一） 回归分析的基本思想及其初步应用

课时跟踪检测（一）回归分析的基本思想及其初步应用层级一学业水平达标1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①解析：选D对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①，故选D．2．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．3．下图是根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．②③D．③④解析：选D根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．4．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()A．y^＝0．4x＋2．3B．y^＝2x－2．4C．y^＝－2x＋9．5D．y^＝－0．3x＋4．4解析：选A依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D．且直线必过点(3,3．5)代入A，B得A正确．5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8．28．610．011．311．9支出y(万元)6．27．58．08．59．8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0．76，a^＝y－－b^x－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11．4万元B．11．8万元C．12．0万元D．12．2万元解析：选B由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0．76×10＝0．4，∴当x＝15时，y^＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：年平均气温(℃)12．5112．8412．8413．6913．3312．7413．05年降雨量(mm)542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．答案：不具有7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．答案：18．下列说法正确的命题是________(填序号)．①回归直线过样本点的中心(x，y)；②线性回归方程对应的直线y^＝b^x＋a^至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；④在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好．解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误．答案：①④9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88．28．48．68．89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20，a^＝y－b^x；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x＝16(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，y＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a^＝y＋20x＝80＋20×8．5＝250,故y^＝－20x＋250．(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1000＝－20x－3342＋361．25，所以当x＝334＝8．25时，zmax＝361．25(元)．即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．10．关于x与y有以下数据：x24568y3040605070已知x与y线性相关，由最小二乘法得b^＝6．5，(1)求y与x的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y^＝7x＋17，且R2＝0．82．若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为y^＝6．5x＋a^．x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∵y^＝6．5x＋a^经过(x，y)，∴50＝6．5×5＋a^，∴a^＝17．5，∴y与x的线性回归方程为y^＝6．5x＋17．5．(2)由(1)的线性模型得yi－y^i与yi－y的关系如下表：yi－y^i－0．5－3．510－6．50．5yi－y－20－1010020所以i＝15(yi－y^i)2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．i＝15(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000．所以R21＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2＝1－1551000＝0．845．由于R21＝0．845，R2＝0．82知R21R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．层级二应试能力达标1．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是()模型1234R20．670．850．490．23A．模型1B．模型2C．模型3D．模型4解析：选B线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1,相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，故其拟合效果最好．故选B．2．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0．8，a＝2，|e|≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过()A．10亿B．9亿C．10．5亿D．9．5亿解析：选C∵x＝10时，y＝0．8×10＋2＋e＝10＋e，又∵|e|≤0．5，∴y≤10．5．3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y^＝－2x＋a．当气温为－4℃时，预测销售量约为()A．68B．66C．72D．70解析：选A∵x＝14(18＋13＋10－1)＝10，y＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68．4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和i＝1n(yi－y^i)2如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中i＝1n(yi－y)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D．5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z^＝lny，求得回归直线方程为z^＝0．25x－2．58，则该模型的回归方程为________．解析：因为z^＝0．25x－2．58，z^＝lny，所以y＝e0．25x－2．58．答案：y＝e0．25x－2．586．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0．254x＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x＋1代x，得y^＝0．254(x＋1)＋0．321，与y^＝0．254x＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．答案：0．2547．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．使用年数12345678910平均价格(美元)2651194314941087765538484290226204观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？解：设x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，作出散点图．由散点图可以看出y与x具有指数关系，令z＝lny，变换得x12345678910z7．8837．5727．3096．9916．6406．2886．1825．6705．4215．318作出散点图：由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：z^＝8．166－0．298x．因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为y^＝e8．166－0．298x．8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x10151720252832y11．31．822．62．73．3(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为24千万元时的利润．解：(1)散点图如图：(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．i1234567xi10151720252832yi11．31．822．62．73．3x＝21，y＝2．1i＝17x2i＝3447，i＝17xiyi＝346．3于是b^＝346.3－7×21×2.13447－7×212≈0．104．a^＝2．1－0．104×21＝－0．084，因此回归直线方程为y^＝0．104x－0．084．(3)当x＝24时，y＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．