20172018学年高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（二） 推理与证明 Word版含解析

阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0B．1C．2D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ayD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选Bf(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋35.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋35，只需证明(2＋3)2(5)2，展开得5＋265，即260，此式显然成立，所以不等式2＋35成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C设等比数列{an}的公比为q，则an＋an＋1＝an(1＋q)．∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0解析：选D法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab0，排除A、B、C，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a，b，c解析：选A令n＝1,2,3，得3(a－b)＋c＝1，9(2a－b)＋c＝7，27(3a－b)＋c＝34.所以a＝12，b＝c＝14.11．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为()A．Sn＝2nn＋1B．Sn＝3n－1n＋1C．Sn＝2n＋1n＋2D．Sn＝2nn＋2解析：选A由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝13，S2＝43；又1＋13＋a3＝32a3，∴a3＝16，S3＝32＝64；又1＋13＋16＋a4＝16a4，得a4＝110，S4＝85.由S1＝22，S2＝43，S3＝64，S4＝85可以猜想Sn＝2nn＋1.12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2016＝()x12345f(x)41352A.1B．2C．4D．5解析：选Dx1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2016＝x4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知x，y∈R，且x＋y2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．答案：x，y都大于114．已知a0，b0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m，n的大小关系是________．解析：ab0⇒ab0⇒a＋b＋2aba＋b⇒(a＋b)2(a＋b)2⇒a＋ba＋b⇒a＋b2a＋b2⇒lga＋b2lga＋b2.答案：mn15．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋ab＝6ab，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.解析：由题意归纳推理得6＋ab＝6ab，b＝62－1＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a38.答案：a38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lga＋b2≥lga＋lgb2；(2)6＋1023＋2.证明：(1)当a，b0时，有a＋b2≥ab，∴lga＋b2≥lgab，∴lga＋b2≥12lgab＝lga＋lgb2.(2)要证6＋1023＋2，只要证(6＋10)2(23＋2)2，即260248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a10，a1≠1，an＋1＝2an1＋an(n＝1,2，…)．(1)求证：an＋1≠an；(2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．解：(1)证明：若an＋1＝an，即2an1＋an＝an，解得an＝0或1.从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，这与题设a10，a1≠1相矛盾，所以an＋1＝an不成立．故an＋1≠an成立．(2)由题意得a1＝12，a2＝23，a3＝45，a4＝89，a5＝1617，由此猜想：an＝2n－12n－1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－12，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2m－12，∴14＜m2＜4，∴Δ0，即关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2.故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0，∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．21．(本小题满分12分)设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f(k＋1)－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．22．(本小题满分12分)已知f(x)＝bx＋1(ax＋1)2x≠－1a，a＞0，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列{xn}的项满足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f(1)＝log162＝14，f(－2)＝1，代入函数表达式得b＋1(a＋1)2＝14，－2b＋1(1－2a)2＝1，即4b＋4＝a2＋2a＋1，－2b＋1＝4a2－4a＋1，解得a＝1，b＝0，(舍去a＝－13)，∴f(x)＝1(x＋1)2(x≠－1)．(2)x1＝1－f(1)＝1－14＝34，x2＝34(1－f(2))＝34×1－19＝23，x3＝23(1－f(3))＝23×1－116＝58，x4＝58×1－125＝35.(3)由(2)知，x1＝34，x2＝23＝46，x3＝58，x4＝35＝610，…，由此可以猜想xn＝n＋22(n＋1).证明：①当n＝1时，∵x1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，xn＝n＋22(n＋1)成立，即xk＝k＋22(k＋1)，则n＝k＋1时，xk＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))·(1－f(k＋1))＝xk·(1－f(k＋1))＝k＋22(k＋1)·1－1(k＋1＋1)2＝k＋2