第二章推理与证明单元试卷含答案详解

第二章推理与证明本章练测建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分）1.已知p是q的充分不必要条件，则q是p的（）Ａ.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件2．设a、b、c都是正数，则1ab,1bc,1ca三个数（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，且coscosabAB，则△ABC一定是（）Ａ.等腰三角形Ｂ.直角三角形Ｃ.等边三角形Ｄ.等腰直角三角形4．给定正整数n(n≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2007时最后一行的数是（）A．251×22007B.2007×22006C.251×22008D.2007×220055.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2009+a2010+a2011等于()A.1003B.1005C.1006D.20116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（）A.29B.30C.31D.327.下面使用类比推理正确的是A．“若33,ab则ab”类推出“若00ab，则abB．“若()abcacbc”类推出“()abcacbc”C．“若()abcacbc”类推出“(0)ababcccc”D．“()nnnabab”类推出“()nnnabab8.已知函数()yfx的定义域为D，若对于任意的1212,()xxDxx，都有1212()()()22xxfxfxf，则称()yfx为D上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（）Ａ.2logyxB.yxC.2yxD.3yx二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.对于等差数列na有如下命题：“若na是等差数列，01a，ts、是互不相等的正整数，则有011statas）（）（”。类比此命题，给出等比数列nb相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）11.在数列na中，12a，1()31nnnaanaN，可以猜测数列通项na的表达式为．12.在直角三角形ABC中，两直角边分别为ab、，设h为斜边上的高，则222111hab，由此类比：三棱锥SABC的三个侧棱SBSCSA、、两两垂直，且长分别为ab、、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则.三、解答题（本题共6小题，共74分）13.（本小题满分17分）观察下图：1，2，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，……问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？（2）此表第n行的各个数之和是多少？（3）2010是第几行的第几个数?（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.14.(本小题满分17分)设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么位置？15.（本小题满分18分）由下列不等式：112，111123，111312372，111122315，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．16.（本小题满分20分）已知命题：“若数列na是等比数列，且0na，则数列12()nnnbaaanN也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．第二章推理与证明本章练测答题纸得分：_________一、选择题题号12345678答案二、填空题9.___________10.___________11.___________12.___________三、解答题13.14.15.16.第二章推理与证明本章练测答案一.选择题1．Ａ解析：反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若pq则qp.2．D3．A解析：coscosabAB，sinsincoscosABAB，tantanAB，又因为,0,AB，AB；4．C解析：由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行时，最后一行数为(n+1)·2n-2，所以当n=2007时，最后一行数为2008×22005=251×22008.5.B解析：观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,又2009=4×503-3,2011=4×503-1,∴a2009=503,a2011=-503,a2010=1005,∴a2009+a2010+a2011=1005.6.B7.C8.C解析：可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证1212()()()22xxfxfxf，即证222121222xxxx，即证222121222xxxx，即证2120xx，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证二、填空题9.若nb是等比数列，11b，ts、是互不相等的正整数，则有111tsstbb解析：这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中、、、类比到等比数列经常是nn()、、（）、，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础。111111111ststttssbqbbbq.10．锐角钝角11.265nan12.22221111habc三、解答题13.解：（1）∵第n+1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n-1.（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）=3·22n-3-2n-2.（3）∵210=1024,211=2048,1024＜2010＜2048，∴2010在第11行，该行第1个数是210=1024，由2010-1024+1=987，知2010是第11行的第987个数.（4）设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.则an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1，an+2=3·22n+1-2n，…，an+9=3·22n+15-2n+7,∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5时，S5=227-128-213+8=227-213-120.∴存在n=5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227-213-120.14.解:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k名。用下面的方法可得k＝1600。20096691340446894298596198398132266881785911939802854183612248165113826241317,1122133255388412126181892727p每次减去该数的三分之一的整数部分：－－－－－－－－－－－－－－－－－，从后开始每次加上前次被删去的个数。1441412162623193934714014070210210105315315158473473237710710355106510655331598159821600.k15解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1111()23212nnnN．用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，112，猜想成立；（2）假设当nk时，猜想成立，即111123212kk，则当1nk时，111111111111211232122121222121222kkkkkkkkkkkk，即当1nk时，猜想也正确，所以对任意的nN，不等式成立．16.解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列na是等差数列，则数列12nnaaabn也是等差数列．证明如下：设等差数列na的公差为d，则12nnaaabn11(1)2(1)2nndnadann，所以数列nb是以1a为首项，2d为公差的等差数列．