山西省名校联考2016届高三上期末数学试卷(文)含答案解析

第1页（共19页）2015-2016学年山西省名校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜log29}，则A∪B等于（）A．（﹣3，log29）B．（﹣3，4）C．（﹣∞，log29）D．（﹣∞，4）2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（3，4），=（2，x），若•=2||，则实数x等于（）A．﹣1B．1C．2D．114．已知椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，直线x﹣2y=0过线段AB的中点，则实数k等于（）A．2B．3C．4D．65．已知α∈（﹣，0），且cosα=，则sin（π+2α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则ak＞1的概率为（）A．B．C．D．7．如图是一个程序框图，则输出s的值是（）A．5B．7C．9D．118．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．18πD．第2页（共19页）9．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[﹣3，+∞）10．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0]C．（﹣，﹣]D．[0，]11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23D．2412．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，A=60°，2asinB=3，则b=．14．已知函数f（x）=log3x+x+m在区间（，9）上有零点，则实数m的取值范围是．15．如果实数x，y满足条件，则z=的最大值为．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第3页（共19页）17．设公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3是a1和a2的等差中项，S4+a2=．（1）求an；（2）已知等差数列{bn}的前n项和Tn，b1=a3，T7=49，求++…+．18．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；喜好体育运动不喜好体育运动合计男生5女生10合计50下面的临界值表供参考：P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？20．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；第4页（共19页）（2）对任意的a∈[，]，函数g（x）=f（x）﹣在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．（1）求证：AB•DE=BC•CE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．（2）若a+b=1，求证：++≥12．第5页（共19页）2015-2016学年山西省名校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜log29}，则A∪B等于（）A．（﹣3，log29）B．（﹣3，4）C．（﹣∞，log29）D．（﹣∞，4）【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A=（﹣3，4），B=（﹣∞，log29}，且4=log224=log216＞log29，∴A∪B=（﹣∞，4），故选：D．2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，得到复数在复平面上所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面上所对应的点的坐标为：（﹣3，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．已知向量=（3，4），=（2，x），若•=2||，则实数x等于（）A．﹣1B．1C．2D．11【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行数量积的坐标运算求出，根据坐标求出，从而由便可建立关于x的方程，解方程便得实数x的值．【解答】解：；∴由得：6+4x=10；∴x=1．故选：B．第6页（共19页）4．已知椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，直线x﹣2y=0过线段AB的中点，则实数k等于（）A．2B．3C．4D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆性质先分别求出A，B的坐标，从而求出线段AB的中点坐标，代入到直线方程中能求出实数k的值．【解答】解：∵椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，∴A（0，），B（，0），∴线段AB的中点M（，），∵直线x﹣2y=0过线段AB的中点，∴﹣2×=0，解得k=2．故选：A．5．已知α∈（﹣，0），且cosα=，则sin（π+2α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得sin（π+2α）的值．【解答】解：∵α∈（﹣，0），且cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2•（﹣）•=，故选：C．6．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则ak＞1的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】利用列举法结婚指数函数的单调性进行求解即可．【解答】解：分别从集合A，B各取一个数，共有3×3=9组实数对，若a=，则由ak＞1得k＜0，此时k=﹣1，有1个，第7页（共19页）若a=，则由ak＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，若a=2，则由ak＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，共有5个，则对应的概率P=，故选：D．7．如图是一个程序框图，则输出s的值是（）A．5B．7C．9D．11【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的s值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=38，n=1，s=19+1﹣2=18，n=1+2=3，s≤n不成立；s=9+3﹣2=10，n=3+2=5，s≤n不成立；s=5+5﹣2=8，n=5+2=7，s≤n不成立；s=4+7﹣2=9，n=7+2=9，s≤n成立，退出循环，输出s的值为9．故选：C．8．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．18πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面积S=4πr2=4π×=π．故选：D．第8页（共19页）9．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[﹣3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】若函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b=（x﹣b）（x﹣2）＜0在区间（﹣3，1）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，∴f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b=（x﹣b）（x﹣2）＜0在区间（﹣3，1）上恒成立，即（﹣3，1）⊆（b，2），解得：b≤﹣3，实数b的取值范围是（﹣∞，﹣3]，故选：A10．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0]C．（﹣，﹣]D．[0，]【考点】余弦函数的图象．【分析】由函数图象和题意可得ω=3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．【解答】解：由题意可得函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1的最大值为3，∵f（x）图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，∴f（x）的周期T=，∴=，解得ω=3，∴f（x）=2cos（3x+φ）+1，∵f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，∴2cos（3x+φ）+1＞1即cos（3x+φ）＞0对∀x∈（﹣，）恒成立，∴﹣+φ≥2kπ﹣且+φ≤2kπ+，解得φ≥2kπ﹣且φ≤2kπ，即2kπ﹣≤φ≤2kπ，k∈Z．结合选项可得当k=0时，φ的取值范围为[﹣，0]，故选：B．第9页（共19页）11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出直观图，几何体为三棱锥与四棱锥的组合体．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥C﹣ABNM和三棱锥A﹣ACD组合体．由三视图可知BC⊥平面ABNM，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，NB=2，MA=4，∴几何