广东普通高等学校招生统一考试试数试题

广东普通高等学校招生统一考试试数试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[sin(21coscos)]cos()[cos(21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=21(c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，lV=hSSSS)(31其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)（1）不等式31xx（A）｛ｘ｜ｘ＜１｝B）｛ｘ｜ｘ（C）｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D）｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3A）３π（B）３3πC）6π（D）９π（3）极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ（A（BC）椭圆D（4）若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ（A）（０，21）B）（０，21]C）（21，＋∞）（D）（０，＋∞）（5）已知复数ｚ＝i62，则ａｒｇZ1是（A）3（B）35（C）6D）611（6）函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）A）ｙ＝ｌｏｇ２11x，ｘB）ｙ＝－ｌｏｇ２11x，ｘ（C）ｙ＝ｌｏｇ２11x，ｘ∈（１，２）（D）ｙ＝－ｌｏｇ２11x，ｘ∈（１，２]（7）若０＜α＜β＜4，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则（A）ａ＞ｂ（B）ａ＜ｂC）ａｂ＜１D）ａｂ＞2（8）在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（A）60°B）９０°C）4５°D）120°（9）设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘA）①③B）①④C）②③D（10）对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取A）（－∞,０）B）（－∞,２）（C）［０,２］D）（０,（11三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是αA）P３＞P２＞P１B）P３＞P２＝P１C）P３＝Ｐ２＞Ｐ１（D）P３＝P２＝P１（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.A（B）２４C）２０D）１９(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)（13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有种可能(用数字作答).（14）双曲线116922yx的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为（15）设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝．（16）圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)（17）(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．（18）(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０．(Ⅰ)求ａ及ｋ(Ⅱ)求)111(lim21nnSSS（19）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21．(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．（20）(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840cm２λ（λ＜１＝，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?（21）(本小题满分14分)已知椭圆1222yx的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥xAC经过线段EF的中点．（22）(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ(Ⅰ)求ｆ)41(),21(f(Ⅱ)证明ｆ（ｘ（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(lnlimnna．参考答案（1）C（2）A（3）D（4）A（5）B（6）A（7）B（8）B（9）C（10）B（11）D（12）D（13）4900（14）516（15）1（16）2n(n-1)（17）解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2)42sin(2x8分所以最小正周期Ｔ＝π．10（18）解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ则a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ由已知有a+3a=2×４，解得首项a１＝ａ公差d=a２－ａ１＝２．2代入公式Sｋ＝ｋ·ａ１＋dkk2)1(得255022)1(2kkk∴ｋ２＋ｋ解得k=50,k=-51(舍去)∴a=2,k=50.6(Ⅱ)由dnnanSn2)1(1得Sｎ＝ｎ（ｎ)11-1()31-21()21-11()1(132121111121nnnnSSSn111n91)111(lim)111(lim21nSSSnnn12（19）解：(Ⅰ)直角梯形ABCDM底面=ABADBC)(21=43125.012∴四棱锥S—ABCD414313131底面MSAV4分(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE6∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB∴CS⊥ＳＥ所以∠ＢＳＣ10∵ＳＢ＝SBBCBCABSA,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22SBBC即所求二面角的正切值为2212（20）解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘλｘ２＝４８４０1分设纸张面积为SＳ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０，3将ｘ＝1022Ｓ＝５０００＋４４)58(105当８)185(85,5即时，S取得最小值，此时，高：ｘ＝884840c宽：λｘ＝5588858如果λ∈［43,32］，可设433221，则由SＳ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211=)58)((10442112110由于058,85322121故因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２所以S（λ）在区间［43,32］内单调递增.从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S（λ答：画面高为88λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小.12分（21）证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(23，0)3若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１∴AC中点为N(23，0)，即AC过EF中点N.若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222xkx即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214kkxxkk又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０，故直线AN，CNｋ１＝32)1(2231111xxkxy)1(2232222xkyk∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121xxxx∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２＝0)]21(4)1(412[2112222kkkk∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线.所以，直线AC经过线段EF的中点N.14（22）(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,所以22)]41([)41()41()4141()21()]21([)21()21()2121()1(]1,0[,0)2()2()22()(ffffffffffxxfxfxxfxfｆ（１）＝ａ＞03分∴4121)41(,)21(afaf6分(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.10（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］∵]21)1(21[)21()21(nnnfnnffnnfnfnfnfnnfnf)]21([)21()21()21(]21)1[()21(21)21(af∴nanf21)21(12∵ｆ（ｘ）的一个周期是2∴ｆ（２ｎ＋n21）=ｆ（n21）,因此an=na210)ln21(lim)(lnlimanannn14