中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题E

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题E学校：姓名：营员证号：一、设11nnabbcc，，，，，，是实数，使得：2212222111()()nnnnnxaxaxaxxbxcxbxc--+++++=++++对任意的实数x成立，求12,,nccc的值。二、证明下面的不等式对任意自然数n成立：3154ninni=轾犏犏犏臌å其中[x]表示不超过x的最大整数三、在一个九人小班中。已知没有4个人是相互认识的。求证：这个小班能分成4个小组,使得在每个小组的人是互不认识的。四、设122005122005,,,,aaabbb是实数使得()()200521(),{1,2,,2005}iijjjjiaxbaxbi=¹-??å对任意实数x成立。问122005122005,,,,aaabbb中,最多能有多少个正实数？2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题E解答学校：姓名：营员证号：五、设11nnabbcc，，，，，，是实数，使得：2212222111()()nnnnnxaxaxaxxbxcxbxc对任意的实数x成立，求12,,nccc的值。解：令2211nnpzzazaz，则多项式pz在上半单位圆周上至少有1n个复根.事实上，若0pz，即2211,nnzzazz记2zw则4222142212111nnnnnn，取cossiniwei，则222cos2nnwwn，12sinwwi，21212sin21nnwwin，因此2cos2sinsin21nansin211sin21nn，只须说明，对每个实数a，关于的方程sin211sin210fnan在0,2中至少有1n个解.这是由于，若1a，则当21kkn，1,2,,,kn有0kf；若1a，对于21kkn，1,2,,,kn注意121kknk，因此11sin210kkn，从而10kkff，即0f在1,kk上至少有一个解.因此0pz在0,上至少有1n个根.回到本题，设0pz在上半单位圆周上的1n个根为121,,,nzzz，则其共轭复数121,,,nzzz也是它的根，因此2kkxbxckkxzxz，由此得1kkkczz，1,2,,1kn，又因121nccc，故1nc.即有121nccc.六、证明下面的不等式对任意自然数n成立：3154ninni其中x表示不超过x的最大整数。证：由于s31nini31ini，改记i为x，易知s31xnx表示由曲线3nyx与0,0xy所围区域中的整点数，即由同一条曲线3nxy与0,0xy所围区域中的整点数，因此3311yynnsyy333111123n54n（由归纳法易得，*31151,44nknNkn），由此54sn.七、在一个九人小班中，已知没有4个人是相互认识的；求证：这个班能分成4个小组,使得每个小组中的人是互不认识的.证：以九个点表示这九个人，如果某两人相识，则在相应两点间连红线，如不相识，则连蓝线，如此得九阶两色完全图G.引理：九阶红蓝两色完全图G中，若不存在红色4K，则必存在蓝色3K.引理证明：若G中有一点1V发出的蓝线4条，设为1,2,3,4,5iVVi，据条件，2345,,,VVVV之间至少有一条蓝边，例如23VV，则123VVV构成蓝色3K，若G中每点发出的蓝线3条，即每点发出的红线5条，由于G中“红度”奇顶点个数为偶数，其中必有一点1V发出的红线6条，设1jVV为红线2,3,4,5,6,7j，而由234567VVVVVV组成的两色6K中，据Ramsey定理，必有单xyo33nyxnxy色3K，且必是蓝色的.(若234VVV为红色3K，则1234VVVV组成红色4K，不合条件).回到本题，设123VVV为蓝色3K；在由4567VVVV组成的4K中，必有蓝边，设为45VV；在由6789VVVV组成的4K中，必有蓝边，设为67VV；这样可将九个点分为四组：123456789,,,,,,,,VVVVVVVVV，同组的人互不认识.八、设122005122005,,,,,,,aaabbb是实数，使得200521(),{1,2,,2005}iijjjjiaxbaxbi对任意实数x成立。问：122005122005,,,,,,aaabbb中,最多能有多少个正实数？解：由于对任意实数x，有200521(),{1,2,,2005}iijjjjiaxbaxbi，……○1记2005200511,iiiiAaBb，上式化为，22220iiiiiiaxAaabxBbb，xR……○2因此判别式0，即24()0iiiiAaabAaB，若所有的,0,iiab则1,2,,2005,iiiaBbA，于是2005200511iiiiaBbA，即ABAB，矛盾.因此122005122005,,,,,,,aaabbb中必有负数.即其中的正数个数至多4009个，以下说明，存在4009个正数和1个负数组成的,iiab，满足本题的条件.为此取12003a，其余,ijab皆为1，则1,2005AB当1i时，○1式成为22003120041xx……○3即221001100120032005020032003x显然此式对一切xR皆成立；当2i时，○2成为2220050xx，显然此式对一切xR也成立.因此，122005122005,,,,,,aaabbb中,最多有4009个正实数.