中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题与答案A

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A学校：姓名：营员证号：____一.在ABCD中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E。设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆。二.设,abN+Î，且对任意,nN+Î都有()nan+│()nbn+证明：ab=三．求函数:,fRR®满足：()()()()1,xfxfxfxxR+-=?以及│()()fxfy-│£│xy-│，,xyR?四.设1000n=！，能否把1到n的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去n？LKDEIBCA2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A解答学校：姓名：营员证号：____一.在ABC中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E,设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆.证：设直线BI交ABC的外接圆点P，易知P是AC的中点。记AC的中为M，则PMAC。设P在直线DI的射影为N由于3,acb则半周长22abcpb，则2BDBEpbbACCM又0,90ABPACPBDICMP所以DBI∽MCP，且相似比为2熟知；PIPCPA。又DBI∽NPI，所以2DIIN，即N是IK的中点进而.PKPIPLPI同理，所以ACKIL，，，，都在以P为圆心的同一个圆周上二.设,abN，且对任意,nN都有nan│nbn证明：ab证：假设ab，则ba取素数pb，又取111nap由费马小定理modnaap，从而0modnananpNMPKLEDIBAC进而00modnbnbnbap，即pba但0babp，矛盾三．求函数:,fRR满足：1,xfxfxfxxR以及│fxfy││xy│，,xyR解：取0x得00f0,1x时，可改写为：11fxfxxx特别地，对任意0x，及nN，有fxnfxxnx：则xnynxyfxnfynfxfyxyfxfyfxfynxy从而xyfxfyfxfynnxy令n，得,,0fxfyxyxy即,0fxkxx四.设1000n！，能否把1到n的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去n？解：不能！假设存在合乎要求的摆法。将a按题述“运算”变为b，筒记为：ab题中运算是指取模n的最小正剩余。若28kk，则不可能有：11(11)17kk否则圆周出现重复的数，故必有；11(11)28kk进而11(11)28,kikiiN若17ll，类上知必有11(11)17,liliiN这表明：当mod11ab时，对ab、，作同一种运算。由于在任何12个相连放在圆周上的数中，必有两个数模11同余，设mod11ab，从a到b作了s次运算111s，由前所述易知所作运算以s为周期取一个周期，将所有s个加数相加的和记为m，则1728100sms故m︱n则经nsm次运算后，所得数与开始时的数相同，但nsmn，矛盾！