04-05年上学期高三单元测试数学(函数单调性与反函数)(附答案)

《函数单调性与反函数》测试题一、选择题1.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是()(A)y=-3x+1(B)y=|x+2|(C)y=x4(D)y=x2-4x+32.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是()(A)[3，+∞)(B)(-∞，-3](C){-3}(D)(-∞，5]3.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于()(A)-3(B)13(C)7(D)由m而决定的常数．4.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是()(A)(3，8)(B)(-7，-2)(C)(-2，3)(D)(0，5)．5.函数y=245xx的递增区间是()(A)(-∞，-2)(B)[-5，-2](C)[-2，1]．(D)[1，+∞)．6.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意t都有f(2+t)=f(2-t)，那么()(A)f(2)f(1)f(4)(B)f(1)f(2)f(4)(C)f(2)f(4)f(1)(D)f(4)f(2)f(1)7.函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个数为()(A)O个(B)1个(C)2个(D)不确定8.奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f-1(x)，则必在y=f-1(x)的图象上的点是()(A)(-f(a)，a)(B)(-f(a)，-a)(C)(-a，-f(a))(D)(a，f-1(a))9.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=2c(c为常数)()(A)有且只有一个实根(B)至少有一个实根(C)至多有一个实根(D)没有实根10.函数f(x)=21x+b与g(x)=ax-5互为反函数，则a，b的值分别为()(A)a=2，b=25(B)a=25，b=2(C)a=21，b=-5(D)a=-5，b=2111.已知函数y=-24x的反函数f-1(x)=24x，则f(x)的定义域为()(A)(-2，0)(B)[-2，2](C)[-2，0](D)[0,2]12.如果函数y=f(x)的图象过点(0，1)，则y=f-1(x)+2的图象必过点()(A)(1,2)(B)(2,1)(C)(0,1)(D)(2,0)二、填空题13.函数y=xx22的单调递增区间是_______________14.已知函数f(x)=x2-2ax+a2+b，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R恒有f(x)≥0，则b的取值范围是____15.函数y=3m(x-1)的反函数图象必过定点_____________16.函数y=-(x-1)2(x≤O)的反函数为___________三、解答题17.求函数f(x)=x+x1在(0，+∞)上的单调性．18.设函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且有f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=x+x21，(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：f(x)在其定义域内是增函数；(3)求f(x)的值域．20.已知f(x)=f-1(x)=axx12(x≠-a)，求实数a．21.求函数y=12xx，x∈(-1，+∞)的图象与其反函数y=f-1(x)图象的交点坐标．22.已知函数f(x)=11xx，函数g(x)=f-1(x1)．试判断g(x)在(1，+∞)上的单调性，并加以证明．参考答案一、选择题1.B；2.B；3.B；4.A；5.B；6.A；7.B；8.B；9.C；10.A；11.D；12.A；1.提示：y=|x+2|在[-2，十∞]上是增函数，在(0，2)上也必定是增函数．故选B．2.提示：∵f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上，对称轴方程为x=1-a，且在区间(-∞，4)上是减函数,∴1-a≥4．解得a≤-3．故选B．3.提示：∵f(x)在(-2，+∞)上是增函数，在(-∞，-2)上是减函数,∴f(x)的对称轴方程为x=4m=-2,∴m=-8．这时f(x)=2x2+8x+3,∴f(1)=13．故选B．4.提示：由已知得-2x-53，∴-3x8故选A.5.提示：由5-4x-x2≥O，得函数的定义域为{x|-5≤x≤1}．∵y=5-4x-x2=(x2+4x+4)+9=-(x+2)2+9，对称轴方程为x=-2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[-5，-2]．故选B．6.提示：由条件知，抛物线的开口向上，对称轴方程为x=2，因此，离对称轴越远的点对应的函数值越大，∴f(2)f(1)f(4)．故选A．7.提示：f(x)与f-1(x)的图像关于y=x对称,且函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个有一个.故选B.8.提示：∵(a,f(a))在y=f(x)上,则(f(a),a)在y=f-1(x)上.∵y=f(x)(x∈R)是奇函数.∴(-a,-f(a))在y=f(x)上,则(-f(a),-a)在y=f-1(x)上,故选B.9.提示：∵y=f(x)存在反函数.∴函数y=f(x)的图象上的点一一对应.f(x)=2c,c为常数,2c为常数,∴方程f(x)=2c(c为常数)至多有一个实根.故选C.10.提示：∵（0，-5）在g（x）上，函数f(x)=21x+b与g(x)=ax-5互为反函数，∴（-5，0）在f（x）上。∴-25+b=0,b=25.由答案知故选A.11.提示：根据题意4-x2≥0,∴-2≤x≤2.又∵f-1(x)=24x≥0,反函数的值域是原函数的定义域.∴x∈[0,2].故选D.12.提示：y=f-1(x)+2是函数y=f-1(x)的图像向上平移二个单位而成,∵函数y=f(x)的图象过点(0，1),∴函数y=f-1(x)的图像过(1,0),∴y=f-1(x)+2的图象必过点(1,2).故选A.二、填空题13.[2,+∞)；14.（1）a≥1，（2）b≥0；15.（1，1）；16.y=-x+1（x≤-1）13.提示：由x2-2xO，得函数的定义域为(-∞，0]∪[2，+∞)．又抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，故递增区间为[2，+∞]．14.提示：由已知条件知a≤1．∵f(x)=(x-a)2+b≥0恒成立,∴b≥0，故(1)填a≤1，(2)填b≥0．15.提示：y=3m(x-1),x=1时,y=1.∴y=3m(x-1)的图像必过(1,1)点.其反函数图像必过(1,1)点.16.提示：∵y≤-1,∴-y=(x-1)2.∴x=1±y,∵x≤0,∴x=1-y.∴其反函数为y=1-x.三、解答题17.证明：设x1，x2∈(O，+∞)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1+11x-x2-21x=(x1-x2)+2112xxxx=(x1-x2)(1-211xx)∴当1≤x1x2时，x1-x20，x1x2l，0211xx1，∴1-211xx0,∴(x1-x2)(1-211xx)0，∴f(x1)f(x2)∴f(x)在[1，+∞]上是增函数．当0x1x2≤l时，x1-x20，0x1x21，l-211xx0，(x1-x2)(1-211xx)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(O，1)上是减函数．即f(x)=x+x1在(0，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．18.解：2a2+a+1=2(a2+2a+161)+87=2(a+41)2+870，3a2-2a+1=3(a2-32a+91)+32=3(a-31)2+320．又∵f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴原不等式可变形为2a2+a+l3a2-2a+1．整理，得a2-3a0．解得0a3．19.解：(1)要使函数有意义，须l+2xO，解得定义域为x≥-21．(2)任取x1,x2∈[-21，+∞)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1+121x-x2-221x=(x1-x2)+121x-221x=(x1-x2)[phone])(2xxxx=(x1-x2)(1+2121212xx).∵-21≤x1x2,∴x1-x20,又∵1+2121212xx0∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[-21，+∞]上是增函数．(3)由(2)知f(x)min=f(-21)=-21，∴y=f(x)的值域为[-21，+∞)．20.解：由y=axx12，得xy+ya=2x+1，x(y-2)=l-ay,x=21yay．交换x，y，得y=21xax，即f-1(x)=21xax．又∵f(x)=f-1(x)，∴2112xaxaxx，即2112xaxaxx，对x≠2的任意实数x恒成立．∴a=-2．21.解：由y=12xx；得xy+y=2x，x(y-2)=-y，x=yy2．交换x，y得y=12xx的反函数为y=xx2．代入y=12xx得xx2=12xx，12xx+xx2=0，x(2112xx)=0,x·)2)(1(142xxxx=0x·)2)(1(33xxx=0∴x1=0,x2=1,0,1∈(-1,+∞)分别代入y=12xx,得y1=0,y2=1∴函数y=12xx，x∈(-1，+∞)与其反函数的交点为(0，0)和(1，1)22.解:由y=f(x)11xx,得yx-y=x+1,x(y-1)=y+1,x=11yy,交换x,y得f-1(x)=11xx(x≠1)g(x)=f-1(x1)=1111xx=xx11=-11xx=-121xx=-1-12x∴g(x)=12x-1在(1，+∞)上是增函数．证明：设1x1x2，则g(x1)-g(x2)=-1-121x+1+122x=122x-121x=)1)(1(22221221xxxx.∵1x1x2,∴x1-x20,x1-10,x2-10.∴)1)(1()(22121xxxx0,∴g(x1)-g(x2)0即g(x1)g(x2)．由函数单调性的定义知：g(x)=12x-1在区间(1，+∞)上是增函数.