重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考理

重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考数学试题（理科）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数xxxfcossin)(是Ａ．周期为的奇函数Ｂ．周期为的偶函数Ｃ．周期为2的奇函数Ｄ．周期为2的偶函数2．函数xxfalog1)(（常数1a）的大致图像是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、C1D1的中点，则异面直线EF与BD所成的角的大小为Ａ．75°Ｂ．60°Ｃ．45°Ｄ．30°4．下列命题中正确的是Ａ．底面是矩形的平行六面体是长方体；Ｂ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；Ｃ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；Ｄ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体；5．两个正数ba,的等差中项是5，等比中项是4，且ba，则椭圆122byax的离心率e等于Ａ．25Ｂ．21Ｃ．23Ｄ．22xyoxyoxyoxyo1111ABCDB1D1C1A1EF6．函数sin(2)3yx的图像按向量(,3)6a平移后的图像的一个中心对称点为Ａ．)0,3(Ｂ．)3,3(Ｃ．)0,2(Ｄ．)3,2(7．设地球的半径为R，已知赤道上两地A、B间的球面距离为2R，若北半球的C地与A、B两地的球面距离均为3R，则C地的纬度为Ａ．北纬45°Ｂ．北纬60°Ｃ．北纬30°Ｄ．北纬75°8．有下列四个命题：①“直线ba”的充分不必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”．②“OM∥11MO且ON∥11NO”是“111NOMMON”的必要不充分条件．③“直线l平面”的充要条件是“直线l平面内的无数条直线”．④“平面的斜线段ACAB,在的射影''BA与''CA相等”是“ACAB”的充要条件．其中正确命题的个数是Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．09．已知为O原点，点),(yxP在单位圆122yx上，点)sin2,cos2(Q满足)32,34(PQ，则OQPOＡ．1825Ｂ．2516Ｃ．165Ｄ．362510．已知平面∥平面，直线l，且lP，平面、平面间的距离为5，则在内到点P的距离为13且到直线l的距离为25的点的轨迹是Ａ．四个点Ｂ．两条直线Ｃ．双曲线的一支Ｄ．一个圆第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．若球的体积是29，则其表面积为12．点)3,(aP到直线0134yx的距离等于4，且在不等式032yx表示的平面区域内，则点P的坐标是___________13．等比数列na中，364aa，则7525532aaaaaADP14．若45，则圆锥曲线14522xy的焦点坐标为15．若二面角l的平面角大小为32，直线m⊥，则平面内的直线与m所成角的取值范围是16．ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规律：所爬行的第2i段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数）．设黑、白蚂蚁都爬完2006段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时黑、白蚂蚁的距离是三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，正三棱柱111CBAABC中点E、F分别是1AB和AB的中点，（1）求证：1BB∥平面EFM；（2）若FM⊥BC于点M，求证：ME⊥BC．18．（12分）0a且1a时，解关于x的不等式)1(2log11logxxxaa．19．（13分）海岛上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个灯塔A，上午11时，灯塔A处的值班员测得一匀速行驶的轮船在岛北偏东60°的C处，由A观察C的俯角为30°，11时10分又测得该船在岛北偏西60°的B处，由A观察B的俯角为60°．（1）求该船的速度(单位：千米／小时)；（2）轮船在沿航线CB航行中，船上的瞭望员随时观测灯塔发出的导航信号，试问瞭望员在整个观测过程中，观测仰角最大是多少？20．（13分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，东南北oACBABCA1B1C1MEF90BAD，//ADBC，1ABBC，3AD，PD与底面ABCD成30角．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求二面角APCB的平面角的大小；21．（13分）已知△OFQ的面积为62，且mFQFO，（1）设6424m，求向量OF与FQ夹角的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若cOF||，2)146(cm，当|OQ|取最小值时，求此双曲线的方程．22．（13分）设函数)(xfy定义域为R，当0x时，1)(xf，且对于任意的Ryx,，有)()()(yfxfyxf成立．数列}{na满足)0(1fa，且)()2(1)(1Nnafafnn．(1)求)0(f的值；(2)求数列}{na的通项公式；(3)是否存在正数k，使12)11()11)(11(21nkaaan对一切Nn均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．xyOQF重庆南开中学高2006级2月月考（理科）参考解答12345678910AABDCBADAA11、912、)3,3(13、914、)3,0(15、]2,6[16、217、证明：（1）∵E、F分别是正三棱柱中AB1和AB的中点，∴BB1∥FE又BB1平面EFM，FE平面EFM，∴BB1∥平面EFM（2）∵正三棱柱的侧棱BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC∵BB1∥FE∴BC⊥FE又∵MF⊥BC∴BC⊥平面EFM∴BC⊥ME18、解：由01011xxx解得11x①当1a时，原不等式等价于)1(211xxx即有01)12)(1(xxx解之得121x；②当10a时，原不等式等价于)1(211xxx即有01)12)(1(xxx解之得211x；综上所述：①当1a时，解集为}121|{xx；②当10a时，解集为}211|{xx．19、解：（1）A在海平面上的射影为O，由题意得330cotOAOC（千米）3360cotOAOB（千米），又△BOC中∠120BOCABCA1B1C1MEF由余弦定理可得313BC（千米），所以该船速度为v船＝39261313（千米／小时）（2）设点E是CB上的一点，则由AO⊥面BOC得∠AEO即为瞭望员观测灯塔A的仰角，在Rt△AOE中OEOAAEOtan，欲使∠AEO取最大值，则OE应取最小值．当OE⊥CB时，OE可取最小值．由BOCOCOBBCOEsin2121可得1323OE∴3132tanOEOAAEO∴瞭望员观测灯塔A的仰角最大为3132arctan．20、解：（1）法一：∵PA⊥面ABCD且AB⊥BC，AB是PB面ABCD内的射影∴PB⊥BC(三垂线定理)∴PB⊥面PAB且BC面PBC∴面PBC⊥面PAB其交线为PB过A在平面PAB内作AH⊥PB于H，则AH⊥面PBC∴AH即为点A到平面PBC的距离又∵PA⊥面ABCD∴AD是PD在面ABCD内的射影∴∠PDA即为PD与面ABCD所成的角，即∠PDA=30°∵AD=3∴PA=330tanADPB=2AB=1∴AH=23PBABPA法二：（等积法）设点A到平面PBC的距离为d∵PA⊥面ABCD∴VP-ABC=VA-PBC即dSPASPBCABC3131∵AB=BC=1且∠ABC=90°∴21ABCSABCDPH解得23d（2）∵PA⊥面ABCD且PA面PAC∴面PAC⊥面ABCD其交线为AC过点B在平面ABCD内作BM⊥AC于M，则BM⊥面PAC又过点M在平面PAC内作MN⊥PC于N，连结MN，则BN⊥PC（三垂线定理）∴∠BNM即为二面角APCB的平面角在Rt△PBC中552512PCBCPBBN在Rt△ABC中22ACBCABBM∴在Rt△BMN中410sinBNBMBNM即二面角APCB的平面角的大小为410arcsin（46arccos、315arctan）21、解：（1）由已知，得1||||sin()26,2||||cos.OFFQOFFQm∴,6424,64tanmm∴3tan1，则34（2）设所求的双曲线方程为2222byax=1(a0，b0)，点Q(x1，y1)，则FQ=(x1－c，y1)∵△OFQ的面积21|OF||y1|=26∴y1=±c64又由OF·FQ=(c，0)(x1－c，y1)=(x1－c)c=(46－1)c2∴x1=46c|OQ|=2221219683ccyx≥12，当且仅当c=4时，|OQ|最小．ABCDPNM此时Q的坐标为(6,6)，或(6，－6)．由此可得161662222baba解得12422ba故所求方程为12422yx=1．22、解：(1)令0,1yx，得)0()1()1(fff，得1)0(f(2)当0x时，0x，∴1)()()0(xfxff，∴1)(0xf．设Rxx21,，且21xx，)](1)[()()()()(121121121xxfxfxxxfxfxfxf，∵21xx，∴012xx，∴1)(12xxf，∴0)(112xxf，而0)(1xf，∴0)()(21xfxf，即)()(21xfxf．∴函数)(xfy在R上是减函数．由)2(1)(1nnafaf得1)2()(1nnafaf，∴)0()2(1faafnn，∴021nnaa，即21nnaa)(Nn．∴}{na是等差数列，其首项为1，公差为2d，∴12nan(3)存在正数k，使12)11()11)(11(21nkaaan成立．记12)11()11)(11()(21naaanFn，则11)1(4)1(2)()1(2nnnFnF，∴)(nF单调递增，∴)1(F为)(nF的最小值，由)(nFk恒成立知332k，∴k的最大值为332．