矩阵对角化方法探讨99

安阳师范学院第1页矩阵对角化方法探讨摘要：本文利用矩阵的相关知识,研究了矩阵可对角化的若干方法.关键词：可对角化;对角化方法;特征值;特征向量1引言形式最简单的矩阵就是对角阵.矩阵对角化使矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,然而并非任何一个n阶矩阵都可以对角化.本文利用矩阵的相关知识,如矩阵秩的知识,矩阵乘法原理,对一些理论进行应用和举例,介绍了矩阵对角化的四种方法,分别是一般方法;用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法;利用矩阵乘法运算,探讨矩阵对角化的方法;利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法.2基本定义定义1设A是n阶方阵,如果存在数和n维非零向量x,使得Axx则称是矩阵A的一个特征值,x是A的属于的一个特征向量.定义2设Aija为n阶方阵,称行列式1111detnnnnaaAIaa为A的特征多项式,记为F,而称0F为A的特征方程.定义3n阶方阵A称为可逆的,如果存在n阶方阵B,使得ABBAI,其中I是n阶单位矩阵.定义4设A,B是n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得1PAPB,则称A与B相似,B称为A的相似矩阵.定义5如果数域P上,对n级矩阵A存在一个可逆矩阵T使1TAT为对角形矩阵,则称矩阵A在数域P上可对角化;当A可对角化时,我们说将A对角化,即指求可逆矩阵T使1TAT为对角形矩阵.3矩阵对角化的几种方法3.1一般方法安阳师范学院第2页3.1.1几个定理定理11n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A由n个线性无关的特征向量,且当A相似于对角矩阵时,的主对角线元素就是A的全部特征值.推论1方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理12如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是单特征值）,则A必相似于对角矩阵.3.1.2求n阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤.第一步：计算特征多项式AI第二步：求出特征方程AI0的全部根12,,,n（重根按重数计算）,则12,,,n就是A的全部特征值.如果i为特征方程的单根,则称i为A的单特征根;如果i为特征方程的k重根,则称i为A的k重特征值,并称k为i的重数.第三步：对A的相异特征值中的每个特征值i,求出齐次线性方程0iAIx的一个基础解系12,,,iiiik,则12,,,iiiik就是对应于特征值i的特征空间的一个基,而A的属于i的全部特征向量为x1ic122iiiiiikikcc（其中12,,iiiikccc为不全为0的任意常数）3.1.3如果n阶方阵A相似于对角矩阵,则A的相似对角化的一般步骤如下:第一步：求出A的全部特征值12,,,n;第二步：对A的相异特征值中的每个特征值i,求出齐次线性方程组0iAIx的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有n个,它们就是A的n个线性无关的特征向量12,,,n;第三步：令矩阵P=12,,,n,则有1PAPdiag12,,,n,其中i是属于特征值i的特征向量1,2,,in.注意P的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致.如图1所示：安阳师范学院第3页图1n阶方阵A的相似对角化过程3.1.4应用实例例1设矩阵A=3221423kk当k取何值时,A相似于对角矩阵?在A可对角化时,求可逆矩阵P,使1PAP成对角矩阵.解先求A的特征值,由IA=3221423kk31cc12201123k=122101123k13rr122101001k=2110，安阳师范学院第4页得A的全部特征值为1231,1.A只有一个重特征值-1,故由定理1的推论,A可对角化属于2重特征值-1的线性无关特征向量正好有2个齐次线性方程组0IAx的基础解系含2个解向量32rIA1,rIA而矩阵42242200422000IAkkkk的秩为1当且仅当0k,故当且仅当0k时A可对角化.当0k时,矩阵A为A=322010423.计算可得A的对应于特征值121的线性无关特征向量可取为121,2,0,1,0,2TT，对应于31的特征值的特征向量可取为31,0,1T.故所求的可逆矩阵可取为P12111,,,200021n,它使得1PAPdiag1,1,1.注:当nnA有n个互不相同的特征值时,A必可对角化;当A有重特征值时,A可对角化A的属于每个重特征值的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数对于A的每个重特征值i（设i的重数为ik）,矩阵iIA的秩为ink.32用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法3.2.1理论依据若矩阵A在数域P上可对角化,则有P上可逆矩阵T使1TATB为对角形矩阵.于是B的主对角线上的元素为A的全体特征值,并且可表示为T12SQQQ,其中iQ为初等矩阵,1,2,,is.于是,B11111ssQQQA12SQQQ,又1iQ也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系,即知111QAQ相当于对A施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里,我们称此安阳师范学院第5页种初等变换为对A施行了一次相似变换.显然,可对A施行一系列的相似变换化为B.又由TI12SQQQ（注：此处I表单位矩阵）可如下进行初等变换,则可将A化为对角形矩阵B,且可求得:TAI对A施行一系列相似变换BT,对I只施行相应的初等列变换.当A不可对角化时,也可经相似变换化简A后,求得其特征值,判定它可否对角化.类似地,可由1T11111ssQQQI,做如下初等变换,则可将A化为对角形矩阵B,且可求得T或由B求A的特征值,判定A可否对角化：AI对A施行一系列相似变换B1T,对I只施行相应的初等行变换.并且在施行相似变换时,不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与A相似即可.3.2.2用初等变换将矩阵对角化的方法1有n个特征单根的n阶可对角化矩阵的对角化方法引理1设A是秩为r的nm阶矩阵,且nmmmAI列初等变换nrnmrmmrBOP其中B是秩为r的列满秩矩阵,则矩阵P所含的mr个列向量就是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系.证明设P12,,,rrmPPP,对A施以列的初等变换相当于右乘一mm阶初等矩阵.设0,BAP其中P是一个mm阶可逆矩阵,P是一个mmr阶矩阵,令1,2,,rkPkmr是矩阵P的列向量.由1,2,,rkPkmr线性无关,且0,AP所以,1,2,,rkPkmr是方程0Ax的mr个线性无关的解向量.又A的秩为r,则上述的mr个向量正是该齐次线性方程组的一个基础解系.引理22-矩阵fIA经列的初等变换可化为下三角的-矩阵B,且B的主对角线上元素乘积的多项式的根恰为A的所有特征根.引理33令A是数域P上一个n阶矩阵,如果A的特征多项式在P内有n个单根,那么安阳师范学院第6页由特征列向量构成的n阶可逆矩阵T,使121nTAT.定理1如果数域P上的n阶矩阵A的特征多项式F在P内有n个单根,则A可通过如下步骤对角化:设fIA,且BfPI列初等变换.其中B为下三角矩阵,则B主对角线上全部元素乘积的多项式的全部特征根为A的全部特征根,对A的每一特征根i,iB中零向量所对应的iP中的列向量是属于i的全部线性无关的特征向量.把属于i的特征向量作为列向量组合构成矩阵T,使121nTAT.证明易知iB中非零向量的列构成列满秩矩阵,由引理1,2及引理3知结论成立.例1设A=142034043.问A是否可对角化?若A可以对角化,求可逆矩阵T,使得1TAT成对角形.解142034043100010001fI列初等变换2004114132131002010121安阳师范学院第7页2200448031111250222204411913BP.由0B解得A的特征值1231,5,5,此时3阶矩阵A有3个不同的单根,故可对角化.当11时,1B的零向量对应1P中的列向量1,0,0T是属于1的特征向量.同理可知A的属于235,5的特征向量分别是2,1,2T和1,2,1T,可得121012021T,使得1155TAT.2有重特征根的可对角化矩阵的对角化方法对存在重特征根的矩阵同样可用上述方法,只是此时iB中非零向量可能不构成列满秩矩阵,需将上述方法加以改进.我们先看引理4设A是数域P上一个n阶矩阵,A可对角化的充要条件是iA的特征根都在P内;ii对于A的每一特征根,秩IAns,这里s是的重数.再由引理2,可知要判断A是否可对角化只需考察iB的秩,并可得对角化步骤如下:定理2设fIA（A是数域P一个n阶矩阵）,则BfPI列初等变换,其中B是下三角矩阵,且B主对角线元素乘积而得的多项式的根恰为A的特征根.i若A的特征根都在P内,A可对角化的充要条件是：对A的每一特征根i,秩iBns,这里s是i的重数;ii若A可对角化,对A的每一特征根i,若iB中非零向量构成列满秩矩阵,则iB安阳师范学院第8页的零向量对应的iP中的列向量是属于i的全部线性无关的特征向量,可组合而得T,使1TAT成对角形.否则继续施以列的初等变换：iiiiBBpP列初等变换,使iB中非零向量构成列满秩矩阵,由iP可得属于i的全部线性无关的特征向量.证明由引理1,引理2的证明及引理4可得.例2设（1）100211,001A(2)321222.361B问A,B是否可对角化?若可以对角化,求可逆矩阵T,使1TAT成对角形.解12100100211210001011100100010001001011fIBP,得A的特征根11（二重根）,21.