电子科大微波第三章传输线和波导

电子科大微波第三章传输线和波导引言：低耗传输微波功率的波导和其它传输线的出现是微波工程早期的里程碑之一。瑞利于1897年建立了金属波导管内电磁波的传播理论，纠正了亥维赛关于没有内导体的空心金属管内不能传播电磁波的错误理论。40年后的1936年，索思沃思和巴罗等人发表了有关波导传播模式的激励和测量方面的文章后，波导才有了重大的发展。早期的微波系统主要使用波导和同轴线作为传输线，波导功率容量高，损耗低，但体积大，价格昂贵；同轴线工作频带宽，但难于制作微波元件。于是有了第二次世界大战中带状同轴线和1952年微带线的出现以及后来更多平面传输线（槽线、鳍线、共面波导）的出现。3.1TEM、TE和TM波的通解本节思路：1.利用麦克斯韦方程，得到由纵向分量表示的电磁场横向分量。2.根据TEM、TE和TM波纵向场的特征，根据1中的关系式写出这三种电磁波沿z方向传播时的电磁场表达式。TEM波：TransverseElectronicmagneticWaveTE波：TransverseElectricWaveTM波：TransverseMagneticWave具有平行于z轴方向导体边界的任意传输线和波导结构，假设z方向均匀且无限长，导体为理想导体。沿z方向传播的时谐电磁场（ejωt）可写为：＋z方向传播，－β→β可得－z方向传播存在损耗时γ=α+jβ→jβ普通双导体封闭式波导(3.1a)(3.1b)对于无源传输线或波导而言，麦克斯韦方程可写为：思路：利用纵向场表示横向场(3.3a)(3.3b)(3.3c)(3.4a)(3.4b)(3.4c)(3.2a)(3.2b)利用Ez和Hz，四个横向场分量可表示为：其中，截止波数(3.5a)(3.5b)(3.5c)(3.5d)式（3.5a~d）对于边界条件平行于z轴的时谐系统而言具有普适性。3.1.1TEM波横电磁波(TransverseElectromagneticWave)(3.3a)(3.4b)消去Hx对于Ex的亥姆霍兹方程而言：(3.9)对于的依赖关系：(3.9)式简化为：(3.10)同理可得：根据（3.1a）得：(3.11)其中，是横向二维拉普拉斯算子。TEM波的横向电场满足拉普拉斯方程。同理横向磁场也满足拉普拉斯方程：(3.12)TEM波的横向场与存在于导体间的静电场相同。若采用静电情况下的标势来表示电场：标势其中，是二维梯度算子。可以证明，也满足拉普拉斯方程。(3.13)由于闭合导体各部分的静电势相同，根据式（3.13）可知，电场为零，因此单一导体不能支持TEM波。只有当两个或更多的导体存在时，TEM波才能够存在。(3.14)因此，对于TEM波的求解可以转换为对静电场问题的求解：(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)分析TEM波的过程：1.求解拉普拉斯方程（3.14）得到标势。解包含若干未知量。2.对于导体上的电压应用边界条件，求得未知量。3.由式（3.13）和（3.1a）计算电场，由式（3.18）和（3.1b）计算磁场。4.由式（3.15）计算V，由式（3.16）计算I。5.传播常数由式（3.8）给出，特征阻抗由Z0=V/I给出3.1.2TE波横电波(H波)3.1.3TM波横磁波(E波)式（3.5）简化为：(3.19a)(3.19b)(3.19c)(3.19d)(3.23a)(3.23b)(3.23c)(3.23d)波阻抗为：与频率有关，可以存在于封闭导体内，也可在两个或更多导体之间形成。(3.22)(3.26)3.1.2TE波3.1.3TM波对于TE，TM波而言，,传播常数是频率和传输线或波导的几何尺寸的函数，反映了由波源进入的微波信号在某一确定传输系统中的传输情况，即导行波的传播特征。由亥姆霍兹方程：因为：上式简化为：由亥姆霍兹方程：因为：上式简化为：需要根据特定的边界条件求解。截止波数kc决定了电磁场在传输系统中的模型或场型，这反映了传输系统的物质，形状和尺寸对电磁能量的束缚作用。(3.21)(3.25)分析TE、TM波的过程：1.求解关于hz或ez的亥姆霍兹方程（3.21）或（3.25）。解包含若干未知量和未知的截止波数kc。2.利用式（3.19）和（3.23），由hz或ez计算横向场。3.把边界条件应用于相应的场分量，求出未知常数和kc。4.传播常数由式（3.6）给出，波阻抗由式（3.22）或（3.26）给出。3.1.4由电介质损耗引起的衰减有时，为了减小波导的体积尺寸，将会在其内部填充介质。由介质引起的衰减可写为：对于TEM波也适用，此时若导体损耗引起的衰减为总的衰减常数为：3.2平行平板波导Wd,填充材料：μ，ε3.2.1TEM波求解静电势的拉普拉斯方程并由边界条件得出电场和磁场：（3.35）（3.36）上板相对于下板的电压：上板的总电流：因此，特性阻抗为：相速：依赖于波导几何尺寸和材料参数的常数。与光在材料媒质中的速度相同。3.2.2TM波Hz=0，Ez≠0，Wd,认为在x方向电场无变化波方程简化为：其通解：（3.41）（3.42）边界条件：y=0，d则：B=0，kcd=nπ，n=0,1,2,3…因此，离散值传播常数β（3.45）横向场分布：则纵向场：（3.46）（3.47）（3.48a）（3.48b）（3.48c）特定边界条件下偏微分方程本征值对应的一系列本征函数，是纵向电场的场分布函数。意义：决定了电磁场在传输系统中的模式或场型。这反映了传输系统的物质、形状和几何尺寸对电磁能量的束缚作用。的本征值。本征值本征函数传播模式和场型意义:（传播状态）和k决定，这反映了由波源进入的微波信号（ω、λ），在某一确定传输系统中的传输情况，即反映了导行波的传播特征。如：纵向场的分布和信号能量纵向推进的快慢。方程中β由讨论：1.n=0时，，TM0与TEM一样2.n≥1时，每个n值对应不同的kc与β，对应不同模式TMn3.由于，对于既定的实数kc，b.当kkc时，β是虚数。这种形式的解代表波动过程，其中相位因子代表沿+z方向传播的波。这种状态称为传播状态.a.当kkc时，β是实数。导行波：导行波：虚数实数这种形式的场时变规律是一种“原地振动”的正弦振荡，其振幅沿+z轴以指数衰减，完全没有波的向前传播的特性。这种状态对应的模式称为截止模式或消逝模。定义截止频率fc：截止波长：当工作频率ffc时，kkc，β是实数，波动状态。当工作频率ffc时，kkc，β是虚数，电场快速衰减，称为截止模(cutoffmode)或消逝模(evanescentmode)4.波阻抗ffc时，是纯实数。ffc时，是纯虚数。5.相速TM波是一种快波6.导波波长不同模式对应不同的kc，因此不同模式的vp，λg不同。7.若把TM(TE)波导模传播看成是一对上下弹跳的平面波则：对于TM1模：等效于：-y，+z方向斜传输的平面波+y，+z方向斜传输的平面波（3.55）（3.56）所以，与式（3.55）相同。b.当f=fc时，β1=0，θ=90°a.当ffc时，β1是实数，且小于k，0θ90°这个模式可以看成两个平面波的叠加。每个平面波在传播方向θ上的相速为：每个平面波在z方向上的相速为：这种情况，类似于海岸线上的海洋波：海岸线与斜入射波波峰的交叉点移动的比波峰本身快。在y=0，d时，两平面波完全抵消，Ez=0两个平面波垂直上下弹跳，在+z方向上没有能量流，截止状态。8.介质损耗和导体损耗3.2.2TE模类似于TM模，对于TE模而言：Ez=0，Hz≠0，Wd,认为在x方向电场无变化纵向场：横向场：（3.67a）（3.67b）（3.67c）（3.66）离散值1.传播常数2.截止频率3.波阻抗4.相速（3.68）（3.69）（3.70）5.导波波长6.介质损耗7.导体损耗（3.72）图3.4平行平板波导中TEM模、TM1模和TE1模由于导体损耗引起的衰减表3.1平行平板波导结果总结图3.5平行平板波导中的场力线(a)TEM(b)TM1模(c)TE1模3.3矩形波导1GHz到220GHz波段内有各种标准的波导。中空波导可以传播TM、TE模而不能传播TEM模。设矩形波导的宽边与直角坐标系的X轴相重合，宽度为a，窄边与Y轴相重合，高度为b，电磁波的传输方向为Z方向，纵向场分量ez，hz满足的方程为：截止波数3.3.1TE模abTE波纵向场分量的通解采用分离变量法，令代入纵向场分量满足的波动方程得到欲使方程两边恒等，只有两者都等于一个常数：令分别求解，有：从而得到矩形波导中纵向磁场的通解(本征方程)为：满足边界条件的场解边界条件由于(3.19c)(3.19d)利用纵向场分量与横向场分量的关系可得TE波的横向场分量的表达式：从而得到TE波的纵向磁场的满足边界条件的解为场的振幅由激励条件所决定截止波长β为实数，kkc对应传播模式β为虚数，kkc对应截止模式截止频率β为零，k=kcffc，β为实数，能传播ffc，β为虚数，不能传播λλc，β为实数，能传播λλc，β为虚数，不能传播矩形波导中的TM（Hz=0）波纵向场分量的通解波导上的边界条件从而得到有同样采用分离变量法TM波横向场分量矩形波导中电磁波的传播模式及传播条件（2）TE波中最低模式为TE10或H10模式，TM波中最低模式为TM11或E11模式，不存在TE00，TM00，TM0n，TMm0模式；（1）每组m和n都对应一个满足边界条件的特解，代表矩形波导中的一种传播模式或波型，m和n称为波型指数；（3）当C（ffC）时，为实数，波型可在波导中传播；当C（ffC）时，为虚数，波型不能在波导中传播；（4）每种传播模式在波导中存在的条件都与该模式的截止波长C（与波导的横截面尺寸有关）和电磁波的激励方式有关。（1）截止波数与截止波长（2）传播常数与导波波长传输特性重要参数（4）相速和群速相速：群速：（3）波阻抗TE波TM波波型指数相同的TE波和TM波，其传输特性相同但空间电磁场结构（电磁场分布）不同，它们可同时在波导中传输。这种现象称模式的简并，其模式彼此称简并模式。TEmn和TMmn都是简并的，当a=b时，TEmn、TMmn、TEnm和TMnm都是简并的，称四重简并。（5）模式的简并例题有一矩形波导，传输频率f＝10GHz的TE10波，测得导波波长λg=4cm，求：1)波的截止频率fc，相速vp、群速vg及波阻抗η；2)若波导截面尺寸不变，而在其中填充均匀电介质(εr=2.5),再求上述参量。解：1）按由λ0=v/f，而空气波导中的速度即光速，即故λ0=3(cm)将λ0、λg的值代入可得λc＝4.5356(cm)。因此截止频率fc=v/λc=6.614(GHz)故vp=4×108(m/s)vg＝2.25×108(m/s)η＝502.65(Ω)2)由于波导尺寸(a、b大小)不变，而波导的截止波长只与尺寸和模式有关，因此根据题设，波导的截止波长不会改变，即λc＝4.5356(cm)。而波导中的“光速”则有改变，即所以fc=v/λc=4.183(GHz)同样有λ0＝v/f=1.8974(cm)。根据：可得vp=2.089×108(m/s)。同理vg＝1.723×108(m/s)。由于：故题设情况下的λg=2.089cm。可得：η＝901.1(Ω)。§1.6.2矩形波导中的主模——TE10掌握矩形波导TE10模场结构特点；掌握波导中模式激励与耦合。复习模式表达式矩形波导纵向场分量矩形波导横向场分量TM波TE波由波动方程TM波横向场分量复习与初始激励功率有关纵向传播因子TE波横向场分量复习与初始激励功率有关纵向传播因子m=1，n=0矩形波导的主模----TE10模式波型指数矩形波导的主模----TE10模式最低模式主模TE10模的电磁场结构图横向电场只有Ey，沿Y轴大小无变化，沿X轴呈正弦分布。TE10模式场结构特点横向磁场Hx与横向电场Ey相差一个系数(波阻抗10)，它们在横截面的分布相同，但矢量方向相互正交。场结构图TE10模振幅分布HZ沿纵向呈余弦分布，在横截面上沿X方向呈