2011石景山区高三期末考试(数学理)有答案

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．2.本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．题号一二三总分151617181920分数第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21MxxZ，12NxxR，则MN（）A．1,0,1B．0,1C．1,0D．12．已知复数1izi＋，则复数z的模为（）A．22B．2C．12D．12+12i3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）A．1123cmB．32243cmC．963cmD．2243cm4．从4名男同学和3名女同学中，任选3名同学参加体能测试，则选出的3名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（）A．3512B．3518C．76D．875．下列说法中，正确的是（）A．命题“若22ambm，则ab”的逆命题是真命题B．命题“xR，02xx”的否定是：“xR，02xx”O2x1xyx12m10NMMMAA(B)BAxyO图1图2图3C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知Rx，则“1x”是“2x”的充分不必要条件6．已知函数32()fxxbxcx的图象如图所示，则2221xx等于（）A．32B．34C．38D．3167．已知O为坐标原点，点A),(yx与点B关于x轴对称，(0,1)j，则满足不等式20OAjAB的点A的集合用阴影表示为（）8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点(),0Nn，则m的象就是n，记作()fmn=．则下列命题中正确的是（）A．114fB．fx是奇函数C．fx在其定义域上单调递增D．fx的图象关于y轴对称第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知(,0)2，3sin5，则cos()＝．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入100，则输出的结果为，如果输入2，则输出的结果为．11．已知直线220xy经过椭圆22221(0)xyabab的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为_______．12．已知△ABC的三边长分别为7AB，5BC，6CA，则ABBC的值为________．13．120()xxdx．14．已知函数399)(xxxf，则(0)(1)ff，若112()()kSffkk31()()(2,kffkkkkZ)，则1kS（用含有k的代数式表示）．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数23cossinsin3)(2xxxxfRx．（Ⅰ）求)4(f的值；（Ⅱ）若)2,0(x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若BA，21)()(BfAf，求ABBC的值．16．（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：作品数量yx实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1b60a5分00113（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a、b的值．17．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCDABCD，四边形ABCD为正方形，'AA22AB，E为棱CC的中点．（Ⅰ）求证：AE平面BDE；（Ⅱ）设F为AD中点，G为棱'BB上一点，且14BGBB，求证：FG∥平面BDE；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角GDEB的余弦值．18．（本小题满分13分）已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：0ykxmk与椭圆交于不同的两点MN、（MN、不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．yxOA0P1P2P3A1A2A319．（本小题满分13分）已知函数ln()()axfxaRx．（Ⅰ）若4a，求曲线)(xf在点))(,(efe处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf的极值；（Ⅲ）若函数)(xf的图象与函数1)(xg的图象在区间],0(2e上有公共点，求实数a的取值范围．20．（本小题满分14分）如图111(,)Pxy，222(,)Pxy，，(,)nnnPxy，12(0,)nyyynN是曲线2:3(0)Cyxy上的n个点，点(,0)(1,2,3,,)iiAain在x轴的正半轴上，1iiiAAP是正三角形(0A是坐标原点).（Ⅰ）求123,,aaa；（Ⅱ）求出点nA(,0)(*)nanN的横坐标na关于n的表达式；（Ⅲ）设12321111nnnnnbaaaa，若对任意正整数n，当1,1m时，不等式2126ntmtb恒成立，求实数t的取值范围.石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BABCBCCC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2f21．……………4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf232sin21xxx2cos232sin21)32sin(x．……………6分20x，32323x．当232x时，即125x时，)(xf的最大值为1．…………8分（Ⅲ）)32sin()(xxf，若x是三角形的内角，则x0，∴35323x．令21)(xf，得21)32sin(x，∴632x或6532x，题号91011121314答案452，32215xy，25519131，12k解得4x或127x．……………10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA且21)()(BfAf，∴4A，127B，∴6BAC．……………11分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsinCAABBC．……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250．…………4分（Ⅱ）由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，4b件，15件，15件，8a件．…………5分∴“实用性”得分y的分布列为：y12345p550450b15501550850a又∵“实用性”得分的数学期望为16750，∴541515816712345505050505050ba．……………10分∵作品数量共有50件，∴3ab解得1a，2b．……………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵四棱柱''''DCBAABCD为直四棱柱，∴ACBD，AABD，AAAAC，∴AACE面BD.∵AACE面EA，∴EABD.∵51222BA，21122BE，3111222EA，∴222EABEBA.∴BEEA.又∵BBEBD，∴BDE面EA.……………………4分（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系.∴)2,0,1(A，)1,1,0(E，)0,0,21(F，)21,1,1(G.∵由（Ⅰ）知：)11,1(EA为面BDE的法向量，)21,1,21(FG，……………………6分∵021)1(11211EAFG.∴EAFG.又∵FG面BDE，∴FG∥面BDE.……………………8分（Ⅲ）设平面DEG的法向量为),,(zyxn，则)1,1,0(DE，)21,1,1(DG.∵0110zyxDEn,即0zy.02111zyxDGn,即02zyx.令1x，解得：2y，2z，∴)2,2,1(n.……………………12分∴935332)1()2(11)1(,cosEAnEAnEAn.∴二面角BDEG的余弦值为935.……………………14分18．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则22222,223,,cbabc解得2,3,ab∴椭圆C的标准方程为22143xy．…………………4分（Ⅱ）由方程组22143xyykxm消去y，得2223484120kxkmxm．…………………6分由题意△22284344120kmkm，整理得：22340km①………………7分设1122,,MxyNxy、，则122834kmxxk，212241234mxxk．…………………8分由已知，AMAN，且椭圆的右顶点为A(2,0)，∴1212220xxyy．…………………10分即2212121240kxxkmxxm，也即22222412812403434mkmkkmmkk，整理得2271640mmkk．解得2mk或27km，均满足①………………………11分当2mk时，直线l的方程为2ykxk，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27km时，直线l的方程为27ykx，过定点2(,0)7，故直线l过定点，且定点的坐标为2(,0)7．………………………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵4a，∴xxxf4ln)(且eef5)(．………………………1分又∵22ln3)4(ln)4(ln)(xxxxxxxxf，∴223ln4()efeee．………………………3分∴)(xf在点))(,(efe处的切线方程为：)(452exeey，即0942eyex．………………………4分（Ⅱ）)(xf的定义域为),0(，2)(ln1)(xaxxf，………………………5分令0)(xf得aex1．当),0(1aex时，0)(xf，)(xf是增函数；当),(1aex时，0)(xf，)(xf是减函数；……………………7分∴)(xf在aex1处取得极大值，即11)()(aaeefxf极大值．………8分（Ⅲ）（i）当21eea，即1a时，由（Ⅱ）知)(xf在),0(1ae上是增函数，在],(21eea上是减函数，∴当aex1时，)(xf取得最大值，即1max)(aexf．又当aex时，0)(xf，当],0(a