向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的运算解决问题.共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．相关结论：1.平面上三点ABC、、共线ABBC＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．)2.点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点1OPOAOB2＝＋．3.平面上三点ABC、、共线O为不同于ABC、、的任意一点，OCOAOB＝＋且1.＋＝.应用一：应用向量知识证明三点共线例1：如图已知△ABC两边ABAC、的中点分别为MN、，在BN延长线上取点P，使NPBN，在CM延长线上取点Q，使MQCM.求证：PAQ、、三点共线11,22ANbAMa解：设,ABaACb，则，由此可得12BNNPba，12CMMQab，,()PAANNPPAbaab，,()AQAMMQAQbaab，即PAPQ,故有//PAAQ，且它们有公共点A，所以PAQ、、三点共线.应用二：应用向量知识解决有关平行的问题例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.已知：如图，四边形ABCDEFGHABBCCDDA，、、、分别是、、、的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所对应的向量相等.证明：连接AC,EFABBC、分别是、的中点，11++22EFEBBFABBC11+22ABBCAC（）=,同理12HGACEFHG//.EFHGEFHG则且四边形EFGH是平形四边形.应用三：应用向量知识解决有关垂直的问题向量垂直的相关结论：数量积：00,0ababab坐标表示：11221212(,)(,)0axybxyabxxyy例3、证明直径所对的圆周角是直角如图所示，已知OABCO.ACB90，为直径，为上任意一点求证分析：要证∠ACB=90°，只须证向量ACCB，即0ACCB.解：设,AOaOCb，则,ACabCBab，由此可得：ACCBabab2222abab220rr即0ACCB，即，ACB90.应用四：求解证明有关长度的问题利用2||aa可以用来求线段的长度.22(,)||axyaxy若则2211221212(,),(,)||()()AxyBxyABxxyy若则例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.已知：平行四边形ABCD.求证：222222ABBCCDDAACBD分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,ABaADb，选其为一组基地，表示其它线段.解：设,ABaADb，则,C,;BCbDaACabDBab2222222()ABBCCDDAab2222ACBDabab222222222222aabbaabbabab222222ABBCCDDAACBD在三角形中一些常见的结论：性质1设O为ABC所平面内一点，则O是ABC外心的重要条件是OAOBOC.性质2设GABCABC为所在平面内一点，则G是重心的重要条件是++GAGBGC0.性质3设H为ABC所在平面内一点，则H是ABC垂心得重要条件是：HAHBHBHCHCHA.