高中数学优良试题之研发

高中數學優良試題之研發121高中數學優良試題之研發黃靜寧老師摘要本文的目的在於就高中數學優良試題之研發，提供兩種方法—即如何針對大考中心的測驗目標評選優良試題，以及如何將大考試題加以修題並應用於教學評量。前者在方法的應用上，首先著重於了解學科能力測驗與指定科目數學考科的測驗目標，透過對大考試題的解析，再對應教學目標，從而了解優良試題的評量重點與其涵蓋之數學觀念。至於後者，則是先將大考試題的解題過程與教學目標進行分析，參照答對率與鑑別度，進行適當之修題。二者之目的，皆在於希望教師透過研發高中數學優良試題，提供教師教學模式之修正與調整的方向，或是增進教學與評量的成效，進一步提升教學品質。關鍵字：高中數學、優良試題、優良試題的研發、測驗目標、試題解析、教學目標、修題、評量、學科能力測驗、指定科目考試。麗山高中學報　第三期122壹、前言　　大考中心每年為高三的學生舉辦兩次測驗---學科能力測驗、指定科目考試，兩次考試，三份試卷，約45~50題試題，對高中數學課程的教學影響深遠。每到考季，不只考生焦慮，任教高三的數學教師也備感壓力，主因是數學這一科成績無論在推薦甄試、申請的倍率篩選，或指考成績分發的加權計分，採計使用上相較其他學科均是排名第一。　　數學學科中心透過「命題技術工作坊」，結合不同學校數學教師的觀點與討論，評選出歷屆大考的優良試題，每位教師再就各自專長命題，提供全國高中數學教師參考，作為教學的教材或評量的工具，日後各校或各區的數學教師也可參照此次「命題技術工作坊」的運作模式，就近結合周遭的數學教師，共同開發新的優良試題，提升教學品質。在此，筆者就下列兩項主要內容，提出報告，供大家參考。（一）「命題技術工作坊」所評選的部分優良試題與大考中心測驗目標做相對應。（二）如何應用大考試題加以修題。貳、優良試題與大考中心測驗目標之對應一、學科能力的測驗目標：（一）概念性知識：例如：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。例題：如右圖，兩直線1L、2L之方程式分別為　　　1L：xayb++=0，2L：xcyd++=0；　　　試問下列哪些選項是正確的?1.0a2.0b　3.0c4.0d5.ac出處：92學年度學科能力測驗選填題第6題高中數學優良試題之研發123試題解析：1L：將xayb++=0化為byxaa=−−1，　　　　　2L：將xcyd++=0化為dyxcc=−−1；　　　　　1L的斜率＝a−10→0a，2L的斜率＝c−10→c0　　　　　1L的y-截距＝ba−0且0a→b0，　　　　　2L的y-截距＝dc−0且0c→d0，　　　　　1L的斜率＞2L的斜率→a−1c−1→ac　　　　　答案：4,5測驗目標：能從圖形判斷直線斜率的正負與大小，與直線截距的意義教學目標：此題測驗內容包含斜率與截距，評量重要而基礎之數學概念，只要先將直線的一般式化為ymxk=+的形式，再對照圖形作判斷即可作答，並無複雜的計算過程。但在大考中心公布統計資料發現得分率為41%，全對僅有32%，顯示有學生直接將直線方程式中y的係數當斜率，常數項當成y-截距造成錯誤。課堂上，教師有必要對學生強調直線方程式，只有斜截式ymxk=+，才能同時判斷直線的斜率與y-截距（二）程序性知識：例如：能讀圖、查表、或運用適當的公式與步驟。例題：設a,b為正整數。若29ba=，且ab+2280，則a的最小可能值為225。出處：97學年度學科能力測驗選填題第F題試題解析：[解法1]∵29ba=，將29ba=代入ab+2280→222809bb+　　　　　→2182809bb+×⇒21825200bb+−⇒(60)(42)0bb+−　　　　　→4260bb−或→2222(42)9(42)(14)baa⇒⇒且a為完全平方數　　　　　→a的最小可能值為2(15)225=　　　　　[解法2]∵2293baa==且a,b為正整數，∴a為完全平方數　　　　　→設2akk=，為正整數→2222293(3)3bakkakbk===⇒==，　　　　　　　　代入ab+2280麗山高中學報　第三期124　　　　　→262800kk+−→(20)(14)0kk+−→1420kork−(不合)　　　　　→15k=時a的最小可能值為2(15)225=測驗目標：能解一元二次不等式教學目標：上列兩種解法差異不大，但21825200bb+−與262800kk+−兩個不等式，對學生而言，卻是考驗因式分解的功力，如何透過讀題了解題意，選擇較方便解題的假設，在解題過程中，減少繁瑣的計算，是平日練習過程必須培養的能力。（三）解決問題的能力：例如：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合理、性與正確性。例題：已知平面坐標上圓221:(7)(1)144Oxy−+−=與222:(2)(13)9Oxy++−=相切，且此兩圓均與直線:5Lx=-相切。若為以L為準線的拋物線，且同時通過1O與2O的圓心，則的焦點坐標為。（化為最簡分數）出處：97學年度學科能力測驗選填題第H題試題解析：根據題意為以L為準線的拋物線，且同時通過1O與2O的圓心，利用拋物線的定義：拋物線上任一點到準線的距離與到焦點的距離相等，設1O與2O即為圓心，由下圖可以得到，的焦點為圓1O與圓2O相切的點F，即F為12OO的內分點，且121212341OFOFrr===：：：：　　　　　利用內分點公式可得，的焦點坐標為4(2)1741311153(,)(,)5555×−+××+×−=　　　　　高中數學優良試題之研發125測驗目標：能將圓與圓相切、圓與直線相切的關係轉化為拋物線的定義教學目標：此題透過圓與圓外切、圓與直線相切的關係，應用在拋物線上，學生必須能了解題目條件畫出幾何圖形與拋物線定義的聯結(如上圖：圖中的F即為題目要求之Γ的焦點)，才容易作答，所以學生平時就要養成利用作圖來解題的習慣，教學現場，應經常將代數式與幾何圖形作對應，強調「數形合一」的重要性，當學生面對沒有圖形的代數式，才知如何下筆。二、指定科目數學考科的測驗目標：（一）概念性知識：例如：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。例題：一正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此之間的距離都是1，則此正立方體的體積為(1)22。(2)42。(3)1。(4)2。出處：91年數學甲單選題第1題試題解析：藉由下圖找出符合條件的四個頂點，推出正立方體的邊長為22，即可得正立方體的體積為。測驗目標：評量能否根據題意找出符合條件的四個頂點教學目標：此題不同於常見的考法，採取逆向命題，平時應加強學生空間幾何的推理能力。（二）程序性知識：例如：能讀圖、查表、或運用適當的公式與步驟解題。例題：空氣品質會受到污染物排放量及大氣擴散等因素的影響。某一機構為瞭解一特定地區的空氣品質，連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度。再會製這二十八筆資料的散佈圖(見下圖)，現根據該圖，可知(1)此筆資料中，該氧化物最大濃度的標準差大於15。(2)此筆資料中，該氧化物最大濃度的中位數為15。(3)此筆資料中，平均風速的中位數介於45與50間。(4)若以最小平方法數據集中趨勢的直線，則該直線的斜率小於0。麗山高中學報　第三期126出處：96年數學甲多選題第8題試題解析：從這二十八筆資料的散佈圖，可得該氧化物最大濃度值介於5~25，僅有一筆資料顯示該氧化物最大濃度值小於5，因此標準差不可能大於15。全部資料共有28筆，樣本數為偶數，中位數應是中間兩個數的平均值，28筆資料中僅有一筆是15，因此中位數不可能為15。橫坐標平均風速的資料則明顯看出中位數介於45與50間，全部28筆資料由左上往右下分佈，數據集中趨勢的直線之斜率為負。答案：(3)(4)測驗目標：以散佈圖評量統計的基本概念，如標準差、中位數與數據集中趨勢教學目標：關於高中數學統計課程的教學，應著重於統計圖表的判讀，與解釋統計量的意義，不宜對統計數據的計算作過度運算。（三）閱讀與表達能力：例如：能讀懂題目，並以數學語言表達題目的涵意及解題的過程。例題：平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。我們將原點以外的格子點分層，方法如下：若(,)ab是原點()0,0以外的格子點，且a和b中最大值為n，則稱(,)ab是在第n層的格子點（例如(3,4)−是在第4層；(8,8)−是在第8層）。則在第15層的格子點個數為120。出處：96年數學乙選填題第B題試題解析：藉由坐標軸畫出第n層的格子點略圖，可以得到　　　　　第1層的格子點個數＝4×4＝4×(2×1)高中數學優良試題之研發127　　　　　第2層的格子點個數＝4×4＝4×(2×2)　　　　　第3層的格子點個數＝4×6＝4×(2×3)　　　　　……　　　　　……第n層的格子點個數＝()n×42故在第15層的格子點個數為4×(2×15)＝120測驗目標：評量能否將題意轉化為數學語言教學目標：培養能夠對於一個新的定義，自己動手操作，了解符號的意義與數字的運算，透過觀察→歸納→發現規律的步驟，進而解決問題。（四）連結能力：例如：能融會貫通數學中不同領域的概念，或連結數學以外其他學科知識或生活經驗。例題：假設,ab是整數，且0b≠。已知233abci=+是實係數一元二次方程式210xkx++=的一個解。請問下列哪些選項是正確的？(1)1c是上述方程式的另外一個解(2)1233abic=−麗山高中學報　第三期128(3)1ckc+=(4)k一定是整數(5)a一定是奇數出處：96年數學乙多選題第6題試題解析：利用一元二次方程式根與係數的關係得知210xkx++=的兩根之積為1，兩根之和為k−，當有一解為c，則另外一個解為1c實係數方程式的虛根成對出現，故1233abic=−，1ckc+=−2()33abi+2()33abi−＝1→abab+=⇒+=2222212999，當a=±1時，b=±2，又a=±3，b=0，123ackc+==−不一定是整數又ab+=2229且b22為偶數，故a2為奇數→a一定是奇數答案：1,2,5測驗目標：評量共軛複數、根與係數，與整數的概念教學目標：此題測驗的內容為實係數方程式的複數根(虛根)成對出現與一元二次方程式根與係數的關係，都是歷年常考的數學基本觀念，但不曾結合兩者於同一題，所以此題答對率很低，尤其低分群的學生更出現負值的得分率，因此應指導高三的學生在做複習工作時，應花時間對不同章節相關的數學知識予以統整。（五）推理論證的能力：例如：能應用數學模型與邏輯思考進行正確的推理或證明。例題：一實驗室培養兩種菌，令和nnab分別代表兩種培養菌在時間點n的數量，彼此有如下的關係：若二階方陣高中數學優良試題之研發129　　　A=　　abcd滿足33=A++nnnnaabb，(其中)，則出處：94年數學乙選填題第E題試題解析：先由題意　　　　　轉成矩陣型式得　　　　　→測驗目標：評量將遞迴關係式轉換成矩陣模式與矩陣的基本運算教學目標：在大考中心的統計資料顯示此題的答對率是17%，屬於偏難的試題，由此可發現學生的推理論證的能力有待加強，此題解題過程的兩個主要步驟分別是(1)將遞迴關係式改寫成矩陣模式，(2)推論出；缺一不可。（六）解決問題的能力：例如：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合理性與正確性。例題：因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止供水。若要求停水的兩天不相連，則自來水公司共有多少種選擇方式？答：15種。出處：91年數學乙選填題第D題試題解析：由7天中任意選擇2天停止供水的選法有C=7221種，相連兩天的選法有6種應予扣除，故自來水公司共有15種選擇方式。測驗目標：題目設計的情境簡單易懂，以當年熱門的時事問題，評量學生排列組合的能力。教學目標：無論那一個單元的教學，都應指導學生如何將概念性的數學知識轉化為解決問題的能力，學生能將數學知識與生活相結合，才能活用所學的數學知識。麗山高中學報　第三期130参、如何應用大考試題