银川一中2016-2017年高二数学(理)期末试卷及答案

银川一中2016/2017学年度(上)高二期末考试数学试卷(理科)命题教师：吕良俊一、选择题（每小题5分，共60分）1．抛物线241xy的准线方程是()A．1yB．1yC．161-xD．161x2．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，+∞)B．(0，2)C．(1，+∞)D．(0，1)3．若双曲线E：116922yx的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3或94．已知命题p：x∈R，2x2+2x+210，命题q：x0∈R，sinx0-cosx0=2，则下列判断中正确的是()A．p是真命题B．q是假命题C．p是假命题D．q是假命题5．一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A．)2(112422xyxB．)2(112422xyxC．112422yxD．112422xy6．已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(-1，1，0)B．(1，-1，0)C．(0，-1，1)D．(-1，0，1)7．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为21，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A、B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A．3B．6C．9D．128．若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的()9．设QP,分别为圆2622yx和椭圆11022yx上的点，则QP,两点间的最大距离是（）A.25B.246C.27D.2610．若AB是过椭圆22221(0)xyabab中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=()A.22caB.22baC.22cbD.22ab11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A．34B．32C．1D．212．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF、BF.若|AB|=10,|BF|=8，cos∠ABF=45,则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67二、填空题（每小题5分，共20分）13．若抛物线y²=-2px(p0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.14．过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______15．如图，M、N分别是四面体OABC的棱AB与OC的中点，已知向量MNxOAyOBzOC,则xyz=_________.16．已知双曲线221124xy的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________.三、解答题（共70分）NMC1B1A1CBA17.（本小题满分10分）(1)是否存在实数m，使2x+m0是x2-2x-30的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x+m0是x2-2x-30的必要条件？18.（本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，AB=AC=AA1,CAB=90°,M、N分别是AA1和AC的中点.（1）求证：MNBC1（2）求直线MN与平面BCC1B1所成角.19.（本小题满分12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为0,332F，渐近线方程为xy3.(1)求双曲线C的方程；(2)设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n.证明nm是定值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且10OAFA.(1)求此抛物线C的方程.(2)过点(4，0)作直线l交抛物线C于M、N两点，求证：OM⊥ON21.（本小题满分12分）如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD.(1)求二面角A-PB-D的大小；(2)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E点的位置,若不存在,说明理由.22.（本小题满分12分）如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，12112121,22,FFDFFFDFFDF的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.高二期末数学（理科）试卷答案一.选择题（每小题5分，共60分）1-6ADBDCB7-12BCDBDB二．填空题（每小题5分，共20分）13.（-9,6）或（-9，-6）14.3515.8116.3333-，三．解答题（共70分）17.(1)欲使得是的充分条件,则只要或,则只要即,故存在实数时,使是的充分条件.(2)欲使是的必要条件,则只要或,则这是不可能的,故不存在实数m时,使是的必要条件.18.（1）解：接连A1C、AC1在平面AA1C1C内，∵AA1平面ABCAA1=AC∴A1CAC1又∵CAB=90即ABAC、AA1AB且AA1∩AC=A∴AB平面AA1C1C又∵A1C在平面AA1C1C内∴A1CAB又∵AB∩AC1=A∴A1C平面ABC1又∵BC1在平面ABC1内∴A1CBC1DNMC1B1A1CBA又∵M,N分别是AA1和AC的中点.∴A1C∥MN∴MNBC1.（2）解：取C1B1的中点D，连接CD∵A1B1=A1C1∴A1DB1C1又∵CC1∥AA1AA1平面ABC∴CC1平面ABC即CC1平面A1B1C1又∵A1D在平面A1B1C1内∴A1DCC1且CC1∩C1B1=CCD在平面CBB1C1内∴A1DCD∴cosA1CD=CACD1=23∴A1CD=30°又∵MN∥A1C即MN与平面BCC1B1所成角为30°19.（1）易知双曲线的方程是1322yx.（2）设P00,yx，已知渐近线的方程为：xy3该点到一条渐近线的距离为：13300yxm到另一条渐近线的距离为13300yxn412232020yxnm是定值.20.（1）根据题意，设抛物线的方程为（），因为抛物线上一点的横坐标为，设，因此有，......1分因为，所以，因此，......3分解得，所以抛物线的方程为；......5分（2）当直线的斜率不存在时，此时的方程是：，因此M，N，因此NOMO，所以OM⊥ON；......7分当直线的斜率存在时，设直线的方程是，因此，得，设M，N，则，，，......9分所以NOMO，所以OM⊥ON。......11分综上所述，OM⊥ON。21.（1）以向量,,DADCDP为正交基底，建立空间直角坐标系.联结AC,交BD于点O,取PA中点G,联结DG.∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PD,∴AC⊥平面PBD.∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAD.∵PD=AD,G为PA中点,∴GD⊥平面PAB.故向量DGAC与分别是平面PBD与平面PAB的法向量.令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴AC=(-2，2，0).∵P(0,0,2),A(2,0,0),∴G(1,0,1),∴DG=(1,0,1).∴向量DGAC与的夹角余弦为212222cosDGACDGAC，∴0120,∴二面角A-PB-D的大小为060.（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.设E是线段PB上的一点，令)10(PBPE.∴AP(-2,0,2),PB(2,2,-2),PC(0,2,-2).∴)2,2,2(PE.∴)22,2,22(PEAPAE.令得,0PCAE222(2-2)=0,得21.∴当21,即点E是线段PB中点时,有AE⊥PC.22如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，12112121,22,FFDFFFDFFDF的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设12(,0),(,0),FcFc其中222.cab由12122FFDF得1212.222FFDFc从而122112122,222DFFSDFFFc故1.c从而12,2DF由112DFFF得22221129,2DFDFFF因此232.2DF所以12222,aDFDF故2,a2221.bac因此，所求椭圆的标准方程为221.2xy（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2212xy相交，111222,,,PxyPxy是两个交点，1211220,0,,yyFPFP是圆C的切线，且1122.FPFP由圆和椭圆的对称性，易知，2112,.xxyy由（1）知12(1,0),(1,0),FF所以11112211(1,),(1,).FPxyFPxy再由1122.FPFP得2211(1)0.xy由椭圆方程得22111(1),2xx即211340.xx解得143x或10.x当10x时，12,PP重合，此时题设要求的圆不存在.当143x时,过12,PP分别与1122,FPFP垂直的直线的交点即为圆心.C设0(0,)Cy由111,FPCP得101111.1yyyxx而1111,3yx故05.3y圆C的半径22141542.3333CP综上,存在满足题设条件的圆,其方程为22532.39xy