银川一中2015-2016学年上高二数学(理)期中试卷及答案

银川一中2015/2016学年度(上)高二期中考试数学试卷(理科)命题人：尹秀香尹向阳一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（）A．19B．16C．14D．132.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别为()A.57.23.6B.57.256.4C.62.863.6D.62.83.63.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为()A.0.09B.0.98C.0.97D.0.964．已知命题xxxp32,)0,(:；命题)2,0(:xq，xxsintan．则下列命题为真命题的是(）A．qpB．)(qpC．)(qpD．qp)(5．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．±34B．±32C．±22D．±346．“1a”是“直线260axy与直线4(3)90xay互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件C．既不充分也不必要条件7.方程2|y|-1=1(1)x表示的曲线是()A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆8．某学校对高二年级一次考试进行抽样分析.右图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[96，98），[98,100)，[100，102)，[102,104),[104,106].已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是（）A.90B.75C.60D.459.椭圆22221xyab(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若21FF是|AF1|,|F1B|的等比中项，则此椭圆的离心率为（）A．33B．55C．21D．210.阅读程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.15B.105C.245D.94511．已知椭圆1251622yx的焦点分别为21,FF，P是椭圆上一点，若连接21,FF，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是（）A.3B.516C.53或165D.16312．如图，点A为椭圆E：)0(12222babyax的右顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率为（）A.225B.23C.235D.223二、填空题(每小题5分，共20分)13.一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是14．若不等式ax|1||成立的充分条件是40x，则实数a的取值范围是__________．15．短轴长为25，离心率e=32的椭圆的两焦点为21,FF，过1F作直线交椭圆于A、B两点，则2ABF周长为_____________。16.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（ab0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与椭圆xyABCOC相交于A、B两点．若AF→＝3FB→，则k＝________．三、解答题17．(本小题满分10分)已知01cc且，设命题p：函数xyclog为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数cxxxf11)(恒成立．如果命题“qp”为真命题，“qp”为假命题，求实数c的取值范围．18.(本小题满分12分)设有关于x的一元二次方程222baxx＝0．(1)若a是从集合A={x∈Z|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x∈Z|0≤x≤2}中任取一个元素，求方程222baxx＝0恰有两个不相等实根的概率;(2)若a是从集合A={x|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x|0≤x≤2}中任取一个元素，求上述方程有实根的概率．19.(本小题满分12分)已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且PBAP22，求点P的轨迹C的方程．20．(本小题满分12分)学校从参加高二年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100],4．(1)在给出的样本频率分布表中，求A,B,C,D的值；(2)估计成绩在80分以上(含80分)学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[90,100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表如下：分组频数频率[40,50)20．04[50,60)30．06[60,70)140．28[70,80)150．30[80,90)AB[90,100]40．08合计CD21.(本小题满分12分)已知椭圆C：)0(12222babyax的右焦点)0,3(2F，过2F的直线交椭圆C于A，B两点，且M（1，-1）是线段AB的中点。(1)求椭圆C的方程；(2)已知1F是椭圆的左焦点，求ABF1的面积。22.(本小题满分12分)如图，椭圆)0(12222babyax的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（1）已知椭圆短轴的两个三等分点M，N与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，则有|OA|2+|OB|2|AB|2,求a的取值范围.银川一中期中考试高二数学（理）答案一、选择题题号123456789101112答案DDDDAADABBBD二、填空题13.7814．[3,)15．1216.2三、解答题17.【解答】：若命题p为真命题，则0c1.若命题q为真命题，则x∈12，2时，min11xxc（），而12(1xxx当且仅当时取最小值），∴112,2cc有已知得，命题p，q中有且只有一个真命题，有两种情况：p真q假时，102c，p假q真时，1c∴实数c的取值范围是102c或1c18.【解答】:(1)由题意知a取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b取集合{0，1，2}中任一个元素，a，b取值的所有情况是:(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.记“方程2220xaxb恰有两个不相等的实根”为事件A，其等价于ab.而当ab时，a，b取值的情况有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，即A包含的基本事件数为6，所以方程2220xaxb恰有两个不相等实根的概率P(A)=612=12.(2)设事件B为“方程2220xaxb有实根”．当a≥0，b≥0时，方程2220xaxb有实根需满足a≥b．试验的全部结束所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如答图1所示的阴影部分）.因此所求的概率为P(B)＝2132222323．答图119【解答】：设P(x,y)，0A(x,0)0B(0,)y0(,)APxxy，0(,)PBxyy22APPB，0(,)=xxy02(,)2xyy02+1=-2xx，0=(21)yy||21AB，22200+y=(21)x，22+1(-)2x22[(21)](21)y所以点P的轨迹方程为2212xy20.【解答】：(1)A=12；B=0．24；C=50；D=1．(2)估计成绩在80分以上(含80分)的学生比例为0．24+0．08=0．32．(3)成绩在[40,50)内有2人，记为甲、A，成绩在[90,100]内有4人，记为乙、B、C、D．则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D．所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P＝312＝14．21.【解答】：（1）（2）由（1）可知直线AB：23xy，由22232180xyxy，得22430yy，121232,2yyyy又|F1F2|=2c=6所以12121212121211||||||()431022FABSFFyyFFyyyy22、（本小题满分12分）【解答】：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，△MNF为正三角形，所以32OFMN,321,3.23bb解得＝2214,ab椭圆方程为221.43xy………6分(Ⅱ)设1122(,),(,).AxyBxy(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有………8分(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入整理得22222222()20,abmybmybab222212122222222,bmbabyyyyabmabm因恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OAOBxyxyxxyy恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1xxyymymyyymyymyy2222222222222222222222(1)()210.mbabbmabmabmmabbabaabm………10分又2220abm，所以22222220mabbaba对mR恒成立，即2222222mababab对mR恒成立,当mR时，222mab最小值为0，所以22220abab，2224(1)abab,因为220,0,1ababa∵∴，即210aa,解得152a或152a(舍去)，即152a,综合（i）(ii)，a的取值范围为15(,)2.………12分