内江二中2005文科

1内江二中2005-2006学年度第二学期期中试卷高二数学文科时间：120分钟满分：150分第I卷(共60分)一.选择题(本大题满分60分,每小题5分)本大题共有12小题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.1．设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（C）A．有且仅有一条直线与a、b都垂直B．有一平面与a、b都垂直C．过直线a有且仅有一平面与b平行D．过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交2.长方体的表面积为222cm,所有棱的总长度为cm24,则长方体的对角线的长度是（D）A.cm14B.cm11C.cm13D.cm123．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（B）A．23B．63C．43D．334．用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为（C）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（C）A．23B．25C．510D．10106．设l1、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：(1)若l1,l2，l1∥β，l1∥a则a∥β.(2)若l1⊥a，l2⊥a，则l1∥l2(3)若l1∥a，l1∥l2，则l2∥a(4)若a⊥β，l1，则l1⊥β其中，正确命题的个数是（B）A．0个B．1个C．2个D．3个7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（B）A.45ºB.90ºC.60ºD.不能确定8．设P是ABC所在平面外一点，若PA、PB、PC两两垂直，则P在平班级姓名学号ABA1PB1D1C1DCOM2面内的射影是ABC的（D）A、内心B、中心C、外心D、垂心9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（D）A．]2,1[B．]2,0(C．)2,0(D．]1,0(10．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（D）A、12B、22C、63D、3311．若斜线l与平面所成角为，在内任作l的异面直线a，则l与a所成的角有(D)A、最大值，最小值B、最大值，最小值C、不存在最大值和最小值D、最大值2，最小值12．正方体A’B’C’D’—ABCE的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b，（ba），Q在D’C’上滑动，则四面体A’—EFQ的体积为（A）A．与E、F、Q位置均无关，是定值B．与Q位置有关C．与E、F、Q位置都有关D．与E、F位置有关第卷(共90分)二．本题满分16分.、填空题：本题共有4小题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分）13．设地球的半径为R，在北纬30°圈上有A、B两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬度线的长为______R33________。.14．在30°二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成30°角，则此直线与二面角的另一个面所成的角的正弦值为；1415．在正三棱锥S—ABC，D为AB中点，且直线SD与BC所成角为45°，则SD与底面ABC所成角的正弦值为33.16.用一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面,则此正四棱柱的对角线长为三.解答题：本题共有7小题，要求写出解答过程和演算、证明步骤.本题满分74分.17．(本小题满分12分)如图，在ABC中，090B，AB=2BC，BC//平面，若ABC在平面内的射影是等腰直角三角形，求AB与平面所成的角。ADBCS318．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1、B、C1三点的平面和底面ABC的交线为L，（1）定直线A1C1和直线L的位置关系，并加以证明。（2）设AA1=1，AB=4，BC=3，090ABC，求点A1到直线L的距离。（3）在（2）的下，求平面A1BC1与底面ABC所成二面角的正弦值。19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为600，在四边形ABCD中，90DABD，AB=4，CD=1，AD=2。（1）求异面直线PA与BC所成的角的余弦；（2）若PB的中点为M，求证：PB平面AMC。B1ABCC1A1C1ACBB1LDCPABM420．(本小题满分12分)如图P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，M、N分别是PC、AB中点，（1）求证：（1）//MN平面PAD；（2）MNCD；（3）若45PDA，求证MN⊥平面PCD．21．(本小题满分12分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.解：（Ⅰ）∵四边形BCB1C1是矩形，∴BC⊥BB1，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1，（Ⅱ）过A1作A1D⊥BB1于D，连接DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面C1B1BC，∠A1CD为直线A1C与平面C1B1BC所成的角，∴.133921332tan11CDDACDA（Ⅲ）由棱柱定义知B1C1//BC，∴B1C1//平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离，∵四边形A1ABB1是菱形，连AB1交A1B于O，∴B1O⊥A1B，∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离.又已知AB=4，∠A1AB=60°，∴在菱形A1ABB1中，B1O=32，∴C1到平面A1BC的距离为32.22．(本小题满分14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F.（Ⅰ）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；（Ⅱ）求直线A1C与DE所成的角；（Ⅲ）设P为侧面BCC1B1上的动点，且,332AP试指出动点P的轨迹，并求出其轨迹所表示曲线的长度.ABCDEA1B1C1D1ACBA1B1C15解：（Ⅰ）F为A1D1的中点。证明：由正方体ABCD—A1B1C1D1，面ABCD//面A1B1C1D1，面B1EDF∩面ABCD=DE，面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F∴B1F//DE，同理：B1E//DF。∴四边形DEB1F为平行四边形∴B1F=DE，又A1B1=CD，Rt△A1B1F≌Rt△CDE∴A1F=CE=112121DA。∴F为A1D1的中点（Ⅱ）过点C作CH//DE交AD的延长线于H，连结A1H。则A1C与DE所成的角就等于A1C与CH所成的锐角即∠A1CH（或其补角）。由于正方体的棱长为1，E为BC中点，∴可求得A1C=25,213,31CHHA在△A1CH中，由余弦定理得：151525324134532cos1212211CHCAHACHCACHA∴1515arccos1CHA，即直线A1C与DE所成的角为1515arccos。（Ⅲ）由于点A到侧面BCC1B1的距离等于AB=1，∴A、P、B构成直角三角形的三个顶点。∴BABAPBP,3322为定点，∴点P的轨迹是以B为圆心，33为半径的四分之一的圆。∴它的长度等于：6333241。