3-2-2-2

第2课时导数的运算法则双基达标（限时20分钟）1．函数y＝cosx1－x的导数是()．A.－sinx＋xsinx（1－x）2B.xsinx－sinx－cosx（1－x）2C.cosx－sinx＋xsinx（1－x）2D.cosx－sinx＋xsinx1－x解析y′＝cosx1－x′＝（－sinx）（1－x）－cosx·（－1）（1－x）2＝cosx－sinx＋xsinx（1－x）2.答案C2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()．A.193B.103C.133D.163解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝103.答案B3．已知f1x＝x1＋x，则f′(x)等于()．A.11＋xB．－11＋xC.1（1＋x）2D．－1（1＋x）2解析令1x＝t，则f(t)＝1t1＋1t＝11＋t，∴f(x)＝11＋x，f′(x)＝11＋x′＝－1（1＋x）2.答案D4．若质点的运动方程是s＝tsint，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．解析s′＝(tsint)′＝sint＋tcost，∴s′(2)＝sin2＋2cos2.答案sin2＋2cos25．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．解析∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，由f′（0）＝－13，f′（－1）＝－27⇒－b＝－13，－4－2a－b＝－27.∴a＝5，b＝13.∴a＋b＝5＋13＝18.答案186．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.综合提高（限时25分钟）7．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()．A．abB．－a(a－b)C．0D．a－b解析∵y＝x2－(a＋b)x＋ab，∴y′＝2x－(a＋b)，∴y′|x＝a＝2a－(a＋b)＝a－b.答案D8．函数y＝x2＋a2x(a0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝()．A．aB．±aC．－aD．a2解析y′＝x2＋a2x′＝2x·x－（x2＋a2）x2＝x2－a2x2，由x20－a2＝0得x0＝±a.答案B9．设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是________．解析由已知f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinθ＋π3，又θ∈0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sinθ＋π3≤1，∴2≤f′(1)≤2.答案[2，2]10．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．解析f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，∴y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－37.答案－3711．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx＋2cosx；(2)y＝ex＋1ex－1；(3)y＝lgxx.解(1)y′＝(x2sinx)′＋(2cosx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＋2(cosx)′＝2xsinx＋x2cosx－2sinx.(2)法一y′＝（ex＋1）′（ex－1）－（ex＋1）（ex－1）′（ex－1）2＝ex（ex－1）－（ex＋1）ex（ex－1）2＝－2ex（ex－1）2.法二y＝ex＋1ex－1＝ex－1＋2ex－1＝1＋2ex－1，y′＝－2ex（ex－1）2.(3)y′＝lgxx′＝（lgx）′x－（lgx）·（x）′x2＝1xln10·x－lgxx2＝1－ln10·lgxx2·ln10.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.求函数y＝f(x)的解析式．解由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－12.∵f′(x)＝a（x2＋b）－2x（ax－6）（x2＋b）2，∴－a－61＋b＝－2，a（1＋b）－2（a＋6）（1＋b）2＝－12，即a＝2b－4，a（1＋b）－2（a＋6）（1＋b）2＝－12，解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f(x)＝2x－6x2＋3.