2-3-1

2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程双基达标（限时20分钟）1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()．A．(2，0)B．(－2，0)C．(4，0)D．(－4，0)解析依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8，得p2＝2，故焦点坐标为(－2，0)，故选B.答案B2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，故选C.答案C3．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()．A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析由双曲线方程x216－y29＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)，则由p2＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案A4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析由抛物线的方程，得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案65．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.答案－16．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是y＝3；(2)过点P(－22，4)；(3)焦点到准线的距离为2.解(1)由准线方程为y＝3知，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p2＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.(2)∵点P(－22，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)或x2＝2py(p0)，将点P(－22，4)代入y2＝－2px，得p＝22；代入x2＝2py，得p＝1.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－42x或x2＝2y.(3)由焦点到准线的距离为2，得p＝2，故所求抛物线的标准方程为y2＝22x，y2＝－22x，x2＝22y或x2＝－22y.综合提高（限时25分钟）7．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.答案D8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()．A．2B．3C.115D.3716解析直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2，故选择A.答案A9．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．解析由抛物线方程y2＝2px(p0)，得其准线方程为x＝－p2，又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3－(－p2)＝4，解得p＝2.答案210．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，－3－14，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解法一设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴p2＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.12．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→·PF→＝0.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)时，求点B的坐标．解(1)设N(x，y)，由MN→＝2MP→，得点P为线段MN的中点，∴P(0，y2)，M(－x，0)，∴PM→＝(－x，－y2)，PF→＝(1，－y2)．由PM→·PF→＝－x＋y24＝0，得y2＝4x.即点N的轨迹方程为y2＝4x.(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，∵|AF→|，|BF→|，|DF→|成等差数列，∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝x1＋x32.∵线段AD的中点为(x1＋x32，y1＋y32)，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)，∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝y1＋y32－0x1＋x32－3.又kAD＝y3－y1x3－x1，∴y3－y1x3－x1·y1＋y3x1＋x3－6＝－1，即4x3－4x1（x23－x21）－6（x3－x1）＝－1.∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝x1＋x32，∴x2＝1.∵点B在抛物线上，∴B(1，2)或(1，－2).