浙江省杭州十四中2012届高三2月月考试题数学理

2012届杭州市第十四中学高三2月月考数学（理科）试题2012.2本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A，B互斥，那么柱体的体积公式PABPAPBVSh如果事件A，B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高PABPAPB锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么13VShn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高1,0,1,2,,nkkknnPkCppkn球的表面积公式台体的体积公式24πSR112213VhSSSS球的体积公式其中12,SS分别表示台体的上底、下底面积，34π3VRh表示台体的高其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合|lg0Axx，{|21}xBx，全集U=R，则()UABð(A)(,1)(B)(1,)(C)(,1](D)[1,)2．设复数12i2iz（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．已知a，b都是实数，则“4ab”是“224ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4．设1sincos2xx（其中(0,π)x），则cos2x的值为(A)74(B)74(C)74(D)1795．设l、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(A)若l∥m，l∥，则m∥(B)若⊥，l∥，则l⊥(C)若l⊥，⊥，则l∥(D)若l⊥m，l⊥且m⊥，则⊥6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A)36＋128π(B)128π(C)36(D)36＋64π7．某程序框图如图所示，若输入的N＝100，该程序运行后输出的结果为(A)50(B)1012(C)51(D)10328．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为(A)8(B)16(C)24(D)609．设点P是椭圆22221xyab（0ab）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是(A)12(B)22(C)32(D)14(第7题图)（第6题图）10．若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数x的方程2xOAxOBBC0有解（点O不在l上），则此方程的解集为(A){1}(B)(C)1515,22(D)1,0非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．设4(1)x的展开式中2x的系数为A，则A＝．12．已知某随机变量的概率分布列如右表，其中0x，0y，随机变量的方差12D，则x＋y＝.13．设a、b为两非零向量，且满足|a|＋|b|＝2，2a•b＝a2•b2，则两向量a、b的夹角的最小值为．14．已知实数x，y满足1910xyxy，则x＋y的最大值为．15．设点M(x,y)的坐标满足不等式组001xyxy，点(m,n)在点M(x,y)所在的平面区域内，若点N(m＋n,m－n)所在的平面区域的面积为S，则S的值为．16．在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足APAB，若CPABPAPB，则实数的值是___________．17．已知a，b，c均为正实数，记11max,,aMbbccacab，则M的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a＝5，b＝3，sinC＝2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求πsin23A的值．123Pxyx19．（本题满分14分）如图(1)在等腰ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，120ACB，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（II）求二面角E-DF-C的余弦值；（III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.20．（本题满分15分）函数()fx的定义域为R，数列{}na满足1=()nnafa（*nN且2n）．（Ⅰ）若数列{}na是等差数列，12aa，且11()()()nnnnfafakaa(k为非零常数，*nN且2n)，求k的值；（Ⅱ）若()(1)fxkxk，12a，*ln()nnbanN，数列{}nb的前n项和为nS，对于给定的正整数m，如果(1)mnmnSS的值与n无关，求k的值．21．（本题满分15分）已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为32,Q为椭圆C的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l与椭圆C交于A，B两点.（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求AQB的大小;（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.22．（本题满分14分）已知函数f(x)=lnx，g(x)=ex．（I）若函数φ(x)=f(x)－11xx，求函数φ(x)的单调区间；（Ⅱ）设直线l为函数y＝f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．注：e为自然对数的底数．ABCDEF图(2)ABCDEF图(1)答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案BDAADAACAA二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．612．3413．π314．815．116．21217．2三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，csinC＝asinA，所以c＝sinCsinAa＝2a＝25.(5分)（Ⅱ）根据余弦定理，得cosA＝2222cbabc＝255，于是sinA＝21cosA＝55，从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35，所以sin23A＝sin2Acos3－cos2Asin3＝43310.(14分)19．（本题满分14分）（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分【解】（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………………………9分证明如下：在图2中,作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。…………………12分ABCDEFxzPABCDEFxzP【法二】（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，设CD＝a，则AC＝BC＝2a,AD＝DB＝3a则A（0，0，3a），B（3a，0，0），C（0，33,0,),(0,,),(,,0)2222aaaEaFa.………………………5分取平面CDF的法向量为(0,0,1)m设平面EDF的法向量为(,,)nxyz，则00DFnDEn得30(3,3,3)30xynyz取，…………6分5cos,5||||mnmnmn，………………………………………7分所以二面角E—DF—C的余弦值为55；……………………………8分【解】（Ⅲ）设23(,,0),0322aPxyAPDEyaya则，又(3,,0),(,,0)BPxayPCxay，………………………………………9分//,(3)(),33BPPCxaayxyxya………………………11分把323yaxa代入上式得，可知点P在BC的延长线上所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.………………………………………………12分20．（本题满分14分）函数()fx的定义域为R，数列{}na满足1=()nnafa（*nN且2n）．（Ⅰ）若数列{}na是等差数列，12aa，且11()()()nnnnfafakaa(k为非零常数，*nN且2n)，求k的值；（Ⅱ）若()(1)fxkxk，12a，*ln()nnbanN，数列{}nb的前n项和为nS，对于给定的正整数m，如果(1)mnmnSS的值与n无关，求k的值．解：（Ⅰ）当2n时，因为1()nnafa，11()()()nnnnfafakaa，所以111()()()nnnnnnaafafakaa．因为数列{}na是等差数列，所以11nnnnaaaa．因为11()nnnnaakaa，所以1k．…6分（Ⅱ）因为()(1)fxkxk，12a，且1()nnafa，所以1nnaka．所以数列{}na是首项为2，公比为k的等比数列，所以12nnak．所以lnln2(1)lnnnbank．因为1lnnnbbk，所以{}nb是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．所以nS1()(1)[ln2ln]22nbbnnnk．因为(1)[(1)1](1){ln2ln}(1)[(1)ln2ln2ln]2(1)[ln2ln2ln][ln2ln]2mnmnmnmnkSmmnkkmnSmmnkkmnk，又因为(1)mnmnSS的值是一个与n无关的量，所以2ln2ln2ln2lnln(1)lnkkmnkmnk，解得4k．…13分21．（本题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab，且222abc.由题意可知：1b，32ca.………2分所以24a.所以，椭圆C的标准方程为2214xy.………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q.设1122(,),(,)AxyBxy.（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为65x.由226,514xxy解得：6,545xy或6,54.5xy即6464(,),(,)5555AB（不妨设点A在x轴上方）.…………5分则直线AQ的斜率1AQk，直线BQ的斜率1BQk.因为1AQBQkk，所以AQBQ.所以2AQB.…………6分（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为6()(0)5ykxk.由226(),514ykxxy消去y得：2222(25100)2