甘肃省兰州一中2011届高三上学期期末考试（数学文）

兰州一中2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学试题（文）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设全集U是实数集,R22{|4},{|1},1MxxNxxNM（）A．{|21}xxB．{|22}xxC．}32|{xxD．{|2}xx2．下列结论正确的是（）A．当2lg1lg,10xxxx时且B．21,0xxx时当C．xxx1,2时当的最小值为2D．当(0,]2x时，4()sinsinfxxx的最小值是43．已知正项数列{}na为等比数列，且4a是22a与33a的等差中项，若22a，则该数列的前5项的和为（）A．3312B．31C．314D．以上都不正确4．“a=3”是“直线ax－2y－1=0”与“直线6x－4y+c=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件D．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若直线02cyx按向量)1,1(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－86．设双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．16322yxB．132322yxC．1964822yxD．1241222yx7．设函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的图像关于直线23x对称，且它的最小正周期为，则（）A．()fx的图像经过点1(0,)2B．()fx在区间52[,]123上是减函数C．()fx的图像的一个对称中心是5(,0)12D．()fx的最大值为A8．已知||1,||3,0OAOBOAOB，点C在AOB内，且AOC30°，设,OCmOAnOBmnR,则mn等于（）A．13B．3C．33D．39．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（）A．3B．22C．23D．5510．设函数y=f（x）存在反函数y=1()fx,且函数()yxfx的图象过点（1,2），则函数1()yfxx的图象一定过点（）A．（-1,2）B．（2,0）C．（1,2）D．（2,1）11．直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．若xbxaxxf2011)(20122010满足2)2011(f，则)2011(f（）A．-2010B．4020C．2011D．0第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若tan=2，则2sin2－3sincos=．14．设x，y满足约束条件24,1,20,xyxyx，则目标函数z＝3x－y的最大值为．15．若直线20kxy与曲线21(1)||1yx有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______________．16．若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1,6经过A、B、C这三点的小圆周长为43，则球O的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量2(3sin,1),(cos,cos)444xxxmn．（1）若1mn,求2cos()3x的值；（2）记nmxf)(，在△ABC中，角CBA,,的对边分别是cba,,且满足CbBcacoscos)2(，求函数f（A）的取值范围．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，90BAC，12ABAA，1AC，M，N分别是11AB，BC的中点．（1）证明：1ABAC；（2）证明：MN∥平面11ACCA；（3）求二面角MANB的余弦值．19．（本小题满分12分）已知圆C：224xy．（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程;（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程．20．（本小题满分12分）设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a0）,若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．（1）求a的值;（2）求函数f（x）的单调区间．mABB1CC1A1MN21．（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa．（1）设12nnnbaa，证明：数列{}nb是等比数列；（2）求数列{}na的通项公式；（3）若2(32)nnncan,nT为{}nc的前n项和，求证：nT23．22．（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线2:kxyl与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA（其中O为原点），求k的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．123456789101112CBBBAACBDACB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．5214.5，15.442,,23316.288π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量2(3sin,1),(cos,cos)444xxxmn．（1）若1mn,求2cos()3x的值；（2）记nmxf)(，在△ABC中，角CBA,,的对边分别是cba,,且满足CbBcacoscos)2(，求函数f(A)的取值范围．解：（1）23sincoscos444xxxmn1sin()262x∵1mn∴1sin()262x211cos()12sin()23262xx21cos()cos()332xx............5分（2）∵（2a-c）cosB=bcosC由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin(B+C)∵ABC∴sin()sin0BCA，∴1cos,23BB∴203A∴1,sin()(,1)6262262AA........10分18．解法一：（Ⅰ）证明：因为1CC平面ABC，所以AC是1AC在平面ABC内的射影，……2分由条件可知ABAC，所以1ABAC．…………………4分（Ⅱ）证明：设AC的中点为D，连接DN，1AD．因为D，N分别是AC，BC的中点，所以DN//12AB．又1AM=1211AB，11AB//AB，所以1AM//DN．所以四边形1ADNM是平行四边形．所以1AD∥MN．…………………6分因为1AD平面11ACCA，MN平面11ACCA，所以MN∥平面11ACCA．……………8分（Ⅲ）如图，设AB的中点为H，连接MH，所以MH∥1BB．因为1BB底面ABC，所以MH底面ABC．在平面ABC内，过点H做HGAN，垂足为G．连接MG，则MGAN．所以MGH是二面角MANB的平面角．………10分因为MH=1BB=2，由AGH∽BAC，得HG=15．DABB1CC1A1MNHG所以MG=22MHHG=215．所以cosMGH=HGMG=2121．二面角MANB的余弦值是2121．…………………12分解法二：依条件可知AB，AC，1AA两两垂直．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz．根据条件容易求出如下各点坐标：(0,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，1(0,0,2)A，1(0,2,2)B，1(1,0,2)C，(0,1,2)M，1(,1,0)2N．（Ⅰ）证明：因为(0,2,0)AB，1(1,0,2)AC，所以1ABAC0(1)20020．……………2分所以1ABAC．即1ABAC．…………………4分（Ⅱ）证明：因为1(,0,2)2MN，(0,2,0)AB是平面11ACCA的一个法向量，且MNAB10022002，所以MNAB．……………6分又MN平面11ACCA，所以MN∥平面11ACCA．…………………8分（Ⅲ）设(,,)xyzn是平面AMN的法向量，因为(0,1,2)AM，1(,1,0)2AN，ABB1CC1A1MNxyz由=0,=0,AMANnn得020,10.2yzxy解得平面AMN的一个法向量(4,2,1)n．由已知，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m．…………………10分设二面角MANB的大小为，则cos||||nmnm=1211=2121．二面角MANB的余弦值是2121．…………………12分19．解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为1x，l与圆的两个交点坐标为3,1和3,1，其距离为32，满足题意………2分20．解(1)'()fx=3x2+2ax-9…………………………………2分.3-9-)('42axfax取得最小值时，当因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12,所以9,123922aa即,a=±3又a0，所以a=-3……………………………6分(2)由(1)知a=-3，f(x)=x3-3x2-9x-1'()fx=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)令'()fx=，解之得x1=-1,x2=3当x∈(-∞,-1)时,'()fx0,'()fx在(-∞,-1)是增函数；当x∈(-1,3)时,'()fx0,'()fx在(-1,3)是减函数；当x∈(3,+∞)时,'()fx0,'()fx在(3,+∞)是增函数；所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞)；单调递减区间为(-1,3).…………………………………12分21．解：（I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，．．．①则当2n时，有142nnSa．．．．．②②－①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为２的等比数列．…….4分（II）由（I）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12，公差为34的等差数列．1331(1)22444nnann，2(31)2nnan…….8分(Ⅲ)4(31)(32)ncnn所以nT=111111141124(...)()32558313132313nnn………12分22．解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为1